Русская Википедия:Модели Осипкова — Мерритта
Модели Осипкова — Мерритта (по имени Л.П. Осипкова и Д. Мерритта) — математическое представление сферических звёздных систем (галактик, звёздных скоплений, шаровых звёздных скоплений, и т.д.). Формула Осипкова — Мерритта создаёт однопараметрическое семейство функций распределения в фазовом пространстве, определяющих заданный профиль плотности (распределение звёзд) в заданном гравитационном потенциале (в котором звёзды движутся). Плотность и потенциал не обязательно должны быть самосогласованными. Свободный параметр показывает степень анизотропии скоростей, от изотропности до почти радиального движения. Метод является обобщением формулы Эддингтона[1] для построения изотропных сферических моделей.
Метод был независимо разработан двумя исследователями.[2][3] Во второй работе включены два дополнительных семейства (тип IIa, b) с тангенциально анизотропными движениями.
Вывод
Согласно теореме Джинса фазовая плотность распределения звёзд f должна выражаться в терминах изолирующих интегралов движения, в сферической системе это энергия E и угловой момент J. В модели Осипкова-Мерритта
- <math>f = f(Q) = f(E+J^2/2r_a^2),</math>
где ra, "радиус анизотропии", является свободным параметром. При этом f является постоянной на поверхности сфероидов в пространстве скоростей, поскольку
- <math>
2Q = v_r^2 + (1+r^2/r_a^2)v_t^2 + 2\Phi(r), </math> где vr, vt являются компонентами скорости, параллельными и перпендикулярными к радиус-вектору r, а Φ(r) является гравитационным потенциалом.
Плотность ρ является интегралом по скоростям от f:
- <math>
\rho(r) = 2\pi\int\int f(E,J) v_t dv_t dv_r, </math> что можно записать в виде
- <math>
\rho(r) = {2\pi\over r^2} \int_\Phi^0 dQ f(Q) \int_0^{2r^2(Q-\Phi)/(1+r^2/r_a^2)} dJ^2\left[2(Q-\Phi)-(J^2/r^2)(1+r^2/r_a^2)\right]^{-1/2} </math> или
- <math>
\rho(r) = {4\pi\over 1+r^2/r_a^2} \int_\Phi^0 dQ \sqrt{2(Q-\Phi)}f(Q). </math>
Это уравнение имеет форму интегрального уравнения Абеля и может быть обращено так, что получится выражение для f относительно ρ:
- <math>
f(Q) = {\sqrt{2}\over 4\pi^2} {d\over dQ} \int_Q^0 {d\Phi\over\sqrt{\Phi-Q}} {d\rho^'\over d\Phi},\ \ \ \ \ \rho^'(\Phi) = \left[1+r(\Phi)^2/r_a^2\right]\rho\left[r(\Phi)\right]. </math>
Свойства
Согласно выкладкам, аналогичным представленным выше, дисперсии скоростей в модели Осипкова — Мерритта удовлетворяют соотношению
- <math>
{\sigma_r^2\over\sigma_t^2} = 1 + {r^2\over r_a^2}. </math>
Движения являются почти радиальными (<math>\sigma_r\gg\sigma_t</math>) при <math>r\gg r_a</math> и почти изотропными (<math>\sigma_r\approx\sigma_t</math>) при <math>r\ll r_a</math>. Это полезное свойство модели, поскольку звёздные системы, сформировавшиеся при гравитационном коллапсе, обладают изотропными ядрами и радиально-анизотропными оболочками.[4]
Если ra принимает слишком маленькое значение, то f может быть отрицательным при некотором Q. Это следствие того факта, что модели сферической массы не всегда могут быть воспроизведены только радиальными орбитами. Поскольку число звёзд на орбите не может быть отрицательным, то значения ra, создающие отрицательное f, не имеют физического смысла. Этот результат можно использовать для ограничения максимальной степени анизотропии в сферических моделях галактик.[3]
В работе 1985 года Мерритт определил два дополнительных семейства моделей ("тип II"), обладающих изотропными ядрами и тангенциально-анизотропными оболочками. Для обоих семейств выполняется предположение
- <math>f = f(E-J^2/2r_a^2)</math>.
В моделях типа IIa орбиты становятся круговыми при r=ra и остаются такими при всех больших радиусах. В моделях типа IIb звёзды за ra двигаются по круговым орбитам с различными эксцентриситетами, хотя движение всегда смещено к круговому. В обоих семействах дисперсия тангенциальных скоростей испытывает скачок при увеличении r за ra. C. M. Каролло и др. (1995)[5] вывели ряд наблюдательных свойств моделей Осипкова — Мерритта I типа.
Применение
Примеры применения моделей Осипкова — Мерритта включают
- моделирование звёздных скоплений,[6] галактик,[7] гало тёмной материи [8] и скоплений галактик[9];
- построение анизотропных моделей галактик для исследования динамической неустойчивости.[10][11]
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Изолированная статья
- ↑ Eddington, A. (1916), The distribution of stars in globular clusters, Шаблон:Wayback Mon. Not. R. Astron. Soc., 76, 572
- ↑ Osipkov, L. P. (1979), Spherical systems of gravitating bodies with an ellipsoidal velocity distribution, Шаблон:Wayback Pis'ma v Astron. Zhur., 5, 77
- ↑ 3,0 3,1 Merritt, D. (1985), Spherical stellar systems with spheroidal velocity distributions, Шаблон:Wayback Astron. J., 90, 1027
- ↑ van Albada, T. (1983), Dissipationless galaxy formation and the R to the 1/4-power law, Шаблон:Wayback Mon. Not. R. Astron. Soc., 201, 939
- ↑ Carollo, C. M. et al. (1995), Velocity profiles of Osipkov-Merritt models, Шаблон:Wayback Mon. Not. R. Astron. Soc., 276, 1131
- ↑ Lupton, R. et al. (1989), The internal velocity dispersions of three young star clusters in the Large Magellanic Cloud, Шаблон:Wayback Astrophys. J., 347, 201
- ↑ Nolthenius, R. and Ford, H. (1987), The mass and halo dispersion profile of M32, Шаблон:Wayback Astrophys. J., 305, 600
- ↑ Sotnikova, N. Ya. and Rodionov, S. A. (2008), Anisotropic Models of Dark Halos, Шаблон:Wayback Astron. Lett., 34, 664-674
- ↑ Lokas, E. and Mamon, G. (2001), Properties of spherical galaxies and clusters with an NFW density profile, Шаблон:Wayback Mon. Not. R. Astron. Soc., 321, 155
- ↑ May, A. and Binney, J. (1986), Testing the stability of stellar systems, Шаблон:Wayback Mon. Not. R. Astron. Soc., 221, 13
- ↑ Saha, P. (1991), Unstable modes of a spherical stellar system, Шаблон:Wayback Mon. Not. R. Astron. Soc., 248, 494
