Русская Википедия:Модель Бозе — Хаббарда
Модель Бозе — Хаббарда даёт примерное описание физики взаимодействия бозонов на пространственной решётке. Она тесно связана с моделью Хаббарда, возникшей в физике твёрдого тела как приближённое описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами твёрдого кристаллического вещества. Слово Бозе указывает на тот факт, что частица в системе — бозон. Впервые модель была введена Х. Гершем (Шаблон:Lang-en) и Г. Ноллмэном (Шаблон:Lang-en)[1] в 1963 году, модель Бозе — Хаббарда может использоваться при изучении систем подобных бозонным атомам в оптической решётке. В противоположность этому, модель Хаббарда применима к фермионам (электронам), а не бозонам. Кроме того, модель обобщается на сочетания Бозе- и Ферми-частиц, в этом случае, в соответствии с гамильтонианом, модель будет называться моделью Бозе — Ферми — Хаббарда.
Гамильтониан
Физика этой модели описывается гамильтонианом Бозе — Хаббарда в представлении вторичного квантования:
- <math> \hat{H} = -t \sum_{ \left\langle i, j \right\rangle } \left( b^{\dagger}_i b_j + b^{\dagger}_j b_i \right) + \frac{U}{2} \sum_{i} \hat{n}_i \left( \hat{n}_i - 1 \right) - \mu \sum_i \hat{n}_i,</math>
где индекс i обозначает суммирование по всем узлам решётки трёхмерной решётки, а <math>\left\langle i, j \right\rangle</math> означает суммирование по всем узлам j соседствующим с i. <math>b^{\dagger}_i</math> и <math>b^{}_i</math> — бозонные операторы рождения и уничтожения. Оператор <math>\hat{n}_i = b^{\dagger}_i b_i</math> задаёт число частиц в узле i. Параметр t — это матричный элемент перехода, имеющий смысл подвижности бозонов в решётке. Параметр U описывает локальное взаимодействие частиц находящихся в одном узле, если U>0, то он описывает потенциал отталкивания и если U<0, то описывает притяжение, <math>\mu</math> — химический потенциал. Данный гамильтониан не рассматривает эффекты, которые малы в термодинамическом пределе, а именно, когда размер системы и число узлов стремятся к бесконечности. В то же время плотность узлов остаётся конечной[1].
Размерность Гильбертова пространства модели Бозе — Хаббарда растёт экспоненциально по отношению к числу частиц N и узлов решётки L. Она определяется по формуле: <math> D_{b}= \frac{(N_{b}+L-1)!}{N_{b}!(L-1)!} </math>, в то время как в модели Ферми — Хаббарда задаётся формулой: <math> D_{f}= \frac{L!}{N_{f}!(L-N_{f})!}. </math> Различные результаты следуют из различия статистики для фермионов и бозонов. Для смеси Бозе- и Ферми-частиц, соответствующее гильбертово пространство в модели Бозе — Ферми — Хаббарда — это прямое тензорное произведение гильбертовых пространств бозонной модели и фермионной модели.
Фазовая диаграмма
При нулевой температуре, модель Бозе — Хаббарда (при отсутствии беспорядка) находится либо в состоянии изолятора Мотта — состояние с малым t/U, либо в сверхтекучем состоянии — с большим t/U[2]. Изолятор Мотта характеризуется целочисленной плотностью бозонов, наличием запрещённой зоны для возбуждений частица-дырка и нулевой сжижаемостью. При наличии беспорядка, присутствует третья фаза «стекло Бозе». Она характеризуется конечной сжижаемостью, отсутствием запрещённой зоны, бесконечной сверхтекучестью.[3] Это изолирующее состояние, несмотря на наличие ширины запрещённой зоны, из-за того, что низкая вероятность туннелирования предотвращает образование возбуждений, которые хотя и близки по энергиям, но пространственно разделены.
Реализация в оптических решётках
Ультрахолодные атомы в оптических решётках считаются стандартной реализацией модели Бозе — Хаббарда. Возможность изменения параметров модели при помощи простых экспериментальных методов, отсутствие динамики решётки в электронных системах — всё это обеспечивает очень хорошие условия по экспериментальному изучению этой модели.[4][5]
Гамильтониан в формализме вторичного квантования описывает газ из ультрахолодных атомов в оптической решётке в следующем виде:
- <math> H= \int d^3\vec r \hat\psi^\dagger(\vec r) \left ( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V_{latt.}(x) \right) \hat\psi(\vec r)
+ \frac{g}{2}\int d^3\vec r\hat \psi^\dagger(\vec r)\hat\psi^\dagger(\vec r)\hat\psi(\vec r)\hat\psi(\vec r) - \mu\int d^3\vec r \psi^\dagger(\vec r)\hat\psi(\vec r),
</math> где <math> V_{latt} </math> — оптический потенциал решётки, g — амплитуда взаимодействия (здесь предполагается контактное взаимодействие), <math>\mu</math> — химический потенциал. Стандартное приближение сильно связанных электронов
- <math>\hat\psi(\vec r) = \sum\limits_i w_i^\alpha (\vec r) b_i^\alpha</math>
даёт гамильтонианы Бозе — Хаббарда, если дополнительно допустить, что
- <math> \int w_i^\alpha(\vec r)w_j^\beta(\vec r)w_k^\gamma(r)w_l^\delta(\vec r) d^3\vec r=0</math>
за исключением случаев <math>i=j=k=l , \alpha=\beta=\gamma=\delta=0</math>. Здесь <math>w_i^\alpha(\vec r) </math> — это Шаблон:Нп3 для частицы в потенциале оптической решётки, локализованном вокруг узла i решётки и для <math>\alpha</math> Блоховской зоны.[6]
Тонкие различия и приближения
Приближение сильно связанных электронов существенно упрощает вторичное квантование гамильтониана, в то же время вводя ряд ограничений:
- Параметры U и J на самом деле могут зависеть от плотности, как отброшенные члены, они фактически не равны нулю; вместо одного параметра U, энергия взаимодействия частиц n может быть описана следующим: <math>U_n</math> примерно, но не равно U [6]
- При рассмотрении быстрой динамики решётки, к гамильтониану Бозе — Хаббарда должны быть добавлены дополнительные условия, так что будет исполняться уравнение Шрёдингера. Оно выходит из зависимости функций Ванье от времени.[7]
Экспериментальные результаты
Квантовые фазовые переходы в модели Бозе — Хаббарда экспериментально наблюдались группой учёных из Греньера (Greiner) и др.[8] в Германии. Параметры взаимодействия <math>U_n </math>, зависящие от плотности, наблюдались группой Шаблон:Нп3.[9]
Дальнейшие приложения модели
Модель Бозе — Хаббарда также представляет интерес для тех, кто работает в области квантовых вычислений и квантовой информации. С помощью этой модели можно исследовать запутанность ультрахолодных атомов.[10]
Численное моделирование
При вычислении низкоэнергетических состояний член, пропорциональный <math>n^2 U </math>, что большое заниание одной стороны маловероятно, позволяя усекать местное гильбертово пространство к состояниям, содержащим не более <math>d <\infty</math> частиц. Тогда локальная размерность гильбертова пространства будет <math>d+1.</math> Размерность полного гильбертового пространства растёт экспоненциально с числом мест в решётке, поэтому компьютерным моделированием огрничиваются системы из 15-20 частиц в 15-20 узлах решётки. Экспериментальные системы содержат несколько миллионов сторон решётки со средним заполнением выше единицы. Для численной симуляции этой модели, алгоритм точной диагонализации представлен в работе под сноской.[11]
Одномерные решётки могут быть рассмотрены методом Шаблон:Нп3 и связанными с этим методиками, такой как алгоритм Шаблон:Нп3. Это включает в себя расчёт фонового состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на сторонах решётки и моделирование её динамики, регулирумой уравнение Шрёдингера. Высшие мерности решётки моделировать значительно сложнее при повышении запутанности.[12]
Все мерности могут рассматриваться алгоритмами Шаблон:Нп3, которые дают возможность изучать свойства тепловых состояний гамильтониана, а также конкретное фоновое состояние.
Обобщения
Подобные Бозе — Хаббарда гамильтонианы могут быть получены для:
- систем с плотность-плотность взаимодействиями <math> V n_i n_j </math>
- дальним дипольным взаимодействием [13]
- внутренней спиновой структурой (спин-1 модели Бозе — Хаббарда) [14]
- неупорядоченных систем [15]
См. также
Примечания
