Русская Википедия:Модель Удзавы — Лукаса
Модель Удзавы — Лукаса (модель Лукаса Шаблон:Lang-en) — двухсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного внешними эффектами от накопления персонифицированного человеческого капитала в секторе образования. В модели показано, что решения экономических агентов об уровне образования могут быть источником устойчивого экономического роста наряду с научно-техническим прогрессом. Модель Удзавы — Лукаса вклад в изучение человеческого капитала и внешних эффектов от него. Первоначальная версия модели была разработана Хирофуми Удзавой в 1965 году, которая затем была существенно дополнена Робертом Лукасом в 1988 году.
История создания
После того, как Пол Ромер разработал модель обучения в процессе деятельности, исследователи обратились к теме внешних эффектов от запаса капитала, с помощью которых можно было показать возможность наличия устойчивых темпов роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. В модели Ромера внешние эффекты происходили от совокупного физического запаса капитала и через эффект перелива знаний распространялись на всю экономику. Будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Роберт Лукас предложил иное толкование: по его мнению, внешние эффекты происходили от человеческого капитала. За основу он взял модель Хирофуми Удзавы, изложенную в работе «Оптимальные технические изменения в агрегированной модели экономического роста», изданной в журнале Шаблон:Нп3 в январе 1965 годаШаблон:Sfn. В модели Удзавы рассматривалась экономика, в которой темпы научно-технического прогресса зависят от доли трудовых ресурсов, занятых в образовательном секторе. Однако в модели Удзавы была постоянная отдача от физического и человеческого капитала была постоянной, а внешние эффекты отсутствовали. Роберт Лукас изложил свою модель в лекциях в Кембриджском университете в 1985 годуШаблон:Sfn, её основные положения были позже изложены в работе «О механике экономического развития», изданной в журнале Journal of Monetary Economics в июле 1988 годаШаблон:Sfn. Лукас добавил в модель Удзавы внешний эффект от среднего уровня образования в экономикеШаблон:Sfn, тем самым существенно усложнив её: теперь отдача от капитала стала переменной во времени, индивидуальная и общественная отдача от образования стали различными, и, следовательно, решения для конкурентной и централизованной экономики стали различнымиШаблон:Sfn. Похожая постановка в модели, предложенной другим будущим лауреатом Нобелевской премии по экономике Полом Кругманом в 1987 году, однако в постановке Лукаса более четко обозначен внешний эффект от образования, считающийся внешним для каждого отдельного производителя, но при этом являющийся результатом решения экономических агентовШаблон:Sfn. Итоговую модель назвали моделью «Удзавы — Лукаса»Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn (также встречается название «модель Лукаса»Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn).
Описание модели
Базовые предпосылки модели
В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт <math>Y</math>, используемый, как для потребления <math>C</math>, так и для инвестиций <math>I</math>. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Фискальная политика в модели отсутствует. Время <math>t</math> изменяется непрерывноШаблон:Sfn.
Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: <math>S=I</math>, <math>C=cL</math>, <math>Y=C+I</math>.
Производственная функция задается следующей формулойШаблон:Sfn:
- <math>Y_t=AK_t^\alpha (uH_t)^{1-\alpha}\bar{h_t}^\beta</math>,
- где <math>A</math> — технологический параметр, <math>A = const</math>, <math>K_t</math> — совокупный запас физического капитала, <math>u</math> — доля населения, занятого в производстве, <math>0<u<1</math>, <math>\bar{h_t}^\beta</math> — внешний эффект от среднего уровня образования в экономике, <math>0 < \beta < 1</math>, <math>\alpha</math> — эластичность выпуска по физическому капиталу, <math>0 < \alpha < 1</math>, <math>H_t</math> — совокупный запас человеческого капитала, <math>H_t=h_tL_t</math>,
- где <math>L_t</math> — население равное в модели трудовым ресурсам, <math>L=L_0e^{nt}</math>, <math>n=const</math>, <math>h_t</math> — уровень квалификации работников.
Для человеческого и физического капиталов выполняются условия отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды)Шаблон:Sfn:
- <math>\lim_{t \to \infty}K_te^{-\int\limits_{0}^{t}(r(\nu)-n)d\nu}\geq0</math>,
- <math>\lim_{t \to \infty}h_tL_te^{-\int\limits_{0}^{t}(r(\nu)-n)d\nu}\geq0</math>,
- где <math>r</math> — ставка процента в экономике.
Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя <math>u(c_t)</math> является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям <math>u'(c)>0, u(c)<0</math> и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): <math>\lim_{c \to 0} u'(c)=+\infin; \lim_{c \to \infty}u'(c)=0</math>, а также обладает постоянной эластичностью замещения <math>\frac{u(c)}{u'(c)}c=-\theta</math>, и имеет видШаблон:Sfn:
- <math>U(c)=\int_{0}^{\infin}\frac {c^{1-\theta}-1} {1-\theta}e^{-(\rho-n) t}dt</math>,
- где <math>\rho</math> — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, <math>\rho >0, \rho = const</math>.
Сектор образования описывается следующим уравнениемШаблон:Sfn:
- <math>\dot{h}=\gamma(1-u)h_t</math>,
- где <math>\dot{h}</math> — производная уровня квалификации по времени, <math>(1-u)</math> — доля населения, занятого повышением квалификации, <math>\gamma</math> — коэффициент производительности сектора образования, <math>\gamma > 0</math>, <math>\gamma = const</math>.
Решение индивида об уровне образования
Индивидуум принимает решение об уровне образования исходя из максимизации своего дохода <math>z</math>Шаблон:Sfn:
- <math>z=\int_{S}^{N}h(S)w_te^{-rt}dt=\int_{S}^{N}e^{\gamma S+g_wt-rt}dt=\frac{e^{\gamma S+g_tN-rN}
-e^{\gamma S+g_wS-rS}}{g_w-r} \to max</math>,
где <math>N</math> — общий объём времени экономического агента, <math>S</math> — время, потраченное на обучение, <math>h(S)=e^{\gamma S}</math> — уровень образования индивида исходя из предпосылки <math>\dot{h}=\gamma(1-u)h_t</math>, <math>w_t=e^{g_wt}</math>— уровень заработной платы, где <math>g_w=\frac{\dot{w}}{w}</math> — темп роста заработной платы, <math>g_w < r</math>.
Условие максимумаШаблон:Sfn:
- <math>\frac{\partial z}{\partial S}=\frac{\gamma e^{\gamma S+g_wN-rN}-(\gamma+g_w-r)e^{\gamma S+g_wS-rS}}{g_w-r}
=0</math>,
Решение этого уравнения в виде оптимального времени обучения <math>S^*</math> выглядит следующим образомШаблон:Sfn:
- <math>S^*=N-\frac{1}{(g_w-r)}ln(1+\frac{g_w-r}{\gamma})</math>
Если принять дополнительную предпосылку о том, что экономический агент тратит на учёбу значительно меньшую часть своей жизни, чем на работу (<math>N>>S</math>), или же, по аналогии с моделью пересекающихся поколений, считая, что человеческий капитал передается по наследству, а альтруистические связи между поколениями делают поведение домохозяйства аналогичным поведению бесконечно живущего индивида (<math>N \to \infin</math>), мы получаем, чтоШаблон:Sfn:
- <math>-\frac{\gamma}{g_w-r}=1\Rightarrow r=\gamma + g_w</math>.
Задача потребителя и общее экономическое равновесие
Задача потребителя в модели заключается в максимизации полезности при условии ограничений на темп роста капитала и на темп роста квалификации работников. Отдельный индивидуум в условиях совершенной конкуренции не влияет на средний уровень образования в экономике, потому в конкурентном равновесии <math>\frac{\partial \bar{h_t}}{\partial {h_{it}}}=0</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
- <math>U(c) \to \max</math>
- при условиях:
- <math>\dot{K}=I_t=Y_t-C_t=AK_t^\alpha(uh_tL_t)^{1-\alpha}\bar{h}_t^\beta-cL_t</math>,
- <math>\dot{h}=\gamma (1-u)h_t</math>,
- <math>\lim_{t \to \infty}K_te^{-\int\limits_{0}^{t}(r(\nu)-n)d\nu}\geq0</math>,
- <math>\lim_{t \to \infty}h_tL_te^{-\int\limits_{0}^{t}(r(\nu)-n)d\nu}\geq0</math>,
- где <math>\dot{K}</math> — производная запаса капитала по времени.
Для поиска равновесия составляется функция Гамильтона и находится её максимум при помощи принципа максимума ПонтрягинаШаблон:Sfn.
Функция Гамильтона выглядит следующим образом:
- <math>J=\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}e^{-(\rho-n) t}L_t+\lambda_t(AK_t^\alpha(uh_tL)^{1-\alpha}\bar{h_t}^\beta-cL_t)+
\mu_t\gamma(1-u)h_t</math>. Условия максимума первого порядкаШаблон:Sfn:
- <math>\frac{\partial J}{\partial c}=L_t(c^{-\theta}e^{-(\rho-n) t}-\lambda_t)=0</math>,
- <math>\frac{\partial{J}}{\partial u}=\lambda_tAK_t^{\alpha}u^{-\alpha}(h_tL_t)^{1-\alpha}\bar{h_t}^\beta-
\mu_t \gamma h_t=0</math>.
Фазовые координаты (сопряжённые уравнения)Шаблон:Sfn:
- <math>\frac{\partial J}{\partial K}=\lambda_t\alpha AK_t^{\alpha-1}(uh_tL_t)^{1-\alpha}\bar{h_t}^\beta=-\dot{\lambda}</math>,
- <math>\frac{\partial J}{\partial h}=\lambda_t(1-\alpha)K_t^{\alpha}(uL_t)^{1-\alpha}h_t^{-\alpha}\bar{h_t}^{\beta}
-\mu_t \gamma(1-u)=-\dot{\mu}</math>,
- где <math>\dot{\lambda}</math> и <math>\dot{\mu}</math> — производные <math>\lambda</math> и <math>\mu</math> по времени.
Условия трансверсальности (при невыполнении которых найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой) совпадают с ограничением на отсутствие схемы ПонциШаблон:SfnШаблон:Sfn: <math>\lim_{t \to \infty}\lambda_tK_t=0</math> и <math>\lim_{t \to \infty}\mu_th_tL_t=0</math>, где <math>\lambda_t</math> представляет собой Шаблон:Нп3 физического капитала, a <math>\mu_t</math> — теневую цену человеческого капитала (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояниеШаблон:Sfn).
Искомый равновесный темп роста выпуска <math>g_Y^*=\frac{\dot{Y}}{Y}</math> и потребления <math>g_C^*=\frac{\dot{C}}{C}</math> имеет следующий видШаблон:Sfn:
- <math>g_C^*=g_Y^*=\frac{(\gamma-\rho+n)(1-\alpha+\beta)}{\theta(1-\alpha)-(1-\theta)\beta}+n</math>.
Темп роста выпуска на душу населения <math>g_y^*=\frac{\dot{y}}{y}</math> и потребления и потребления на душу населения <math>g_c^*=\frac{\dot{c}}{c}</math> имеет следующий видШаблон:SfnШаблон:Sfn:
- <math>g_c^*=g_y^*=\frac{(\gamma-\rho+n)(1-\alpha+\beta)}{\theta(1-\alpha)-(1-\theta)\beta}</math>.
Равновесный темп роста заработной в модели платы <math>g_w^*</math> имеет видШаблон:SfnШаблон:Sfn:
- <math>g_w^*=\frac{(\gamma-\rho+n)\beta}{\theta(1-\alpha)-(1-\theta)\beta}</math>.
Оптимальное экономическое равновесие
Поскольку в модели присутствуют внешние эффекты, которые не учитываются потребителями при принятии решения об уровне образования (<math>\frac{\partial \bar{h_t}}{\partial {h_{it}}}=0</math>), то децентрализованное равновесие не является оптимальным. Потому в модели при централизованном планировании можно достичь более высокого уровня потребления <math>c</math>. При централизованном планировании <math>\bar{h_t}=h_t</math>, и задача централизованного планирования выглядит следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn.
- <math>U(c) \to \max</math>
При условиях:
- <math>\dot{K}=I_t=Y_t-C_t=AK_t^\alpha(uh_tL_t)^{1-\alpha}h_t^\beta-cL_t</math>,
- <math>\dot{h}=\gamma (1-u)h_t</math>,
- <math>\lim_{t \to \infty}K_te^{-\int\limits_{0}^{t}(r(\nu)-n)d\nu}\geq0</math>,
- <math>\lim_{t \to \infty}h_tL_te^{-\int\limits_{0}^{t}(r(\nu)-n)d\nu}\geq0</math>.
Для поиска равновесия составляется функция Гамильтона и находится её максимум при помощи принципа максимума ПонтрягинаШаблон:Sfn.
Функция Гамильтона выглядит следующим образом:
- <math>\hat{J}=\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}e^{-(\rho-n) t}L_t+\lambda_t(AK_t^\alpha(uh_tL_t)^{1-\alpha}h_t^\beta-cL_t)+
\mu_t\gamma(1-u)h_t</math>. Условия максимума первого порядкаШаблон:Sfn:
- <math>\frac{\partial \hat{J}}{\partial c}=L_t(c^{-\theta}e^{-(\rho-n) t}-\lambda_t)=0</math>,
- <math>\frac{\partial \hat{J}}{\partial u}=\lambda_tAK_t^{\alpha}u^{-\alpha}(h_tL_t)^{1-\alpha}h_t^\beta-
\mu \gamma h_t=0</math>.
Фазовые координаты (сопряжённые уравнения)Шаблон:Sfn:
- <math>\frac{\partial \hat{J}}{\partial K}=\lambda_t\alpha AK_t^{\alpha-1}(uh_tL_t)^{1-\alpha}h_t^\beta=-\dot{\lambda}</math>,
- <math>\frac{\partial \hat{J}}{\partial h}=\lambda_t(1+\beta-\alpha)K_t^{\alpha}(uL_t)^{1-\alpha}h_t^{\beta-\alpha}
-\mu_t \gamma(1-u)=-\dot{\mu}</math>,
- где <math>\dot{\lambda}</math> и <math>\dot{\mu}</math> — производные <math>\lambda</math> и <math>\mu</math> по времени.
Условия трансверсальности: <math>\lim_{t \to \infty}\lambda_tK_t=0</math> и <math>\lim_{t \to \infty}\mu_th_tL=0</math>, где <math>\lambda_t</math> представляет собой Шаблон:Нп3 физического капитала, a <math>\mu_t</math> — теневую цену человеческого капиталаШаблон:Sfn.
Искомый равновесный темп оптимальный роста выпуска <math>g_Y^{**}=\biggl(\frac{\dot{Y}}{Y}\biggr)_{opt}</math> и потребления <math>{\displaystyle g_{C}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {C}}{C}}{\biggr )}_{opt}}</math> имеет следующий видШаблон:Sfn:
- <math>g_C^{**}=g_Y^{**}=\frac{1}{\theta}\biggl(\gamma \frac{1-\alpha+\beta}{1-\alpha}-\rho+n \biggr)+n</math>.
Темп роста выпуска на душу населения <math>g_y^{**}=\biggl(\frac{\dot{y}}{y}\biggr)_{opt}</math> и потребления и потребления на душу населения <math>g_c^{**}=\biggl(\frac{\dot{c}}{c}\biggr)_{opt}</math> имеет следующий видШаблон:SfnШаблон:Sfn:
- <math>g_c^{**}=g_y^{**}=\frac{1}{\theta}\biggl(\gamma \frac{1-\alpha+\beta}{1-\alpha}-\rho+n \biggr)</math>.
Ставка процента <math>r^{**}</math>, соответствующая оптимальным темпам роста, имеет следующий видШаблон:SfnШаблон:Sfn::
- <math>r^{**}=\gamma \frac{1-\alpha+\beta}{1-\alpha}</math>.
Таким образом, темпы роста потребления выпуска и заработной платы в модели при централизованном планировании выше, чем при конкурентном равновесииШаблон:Sfn. Однако при отсутствии внешнего эффекта от уровня образования (если <math>\beta=0</math>), темпы роста выпуска в централизованном и конкурентном состоянии совпадают и равныШаблон:Sfn:<math>g_C=g_Y=\frac{1}{\theta}(\gamma -\rho+n)+n</math>, а заработная плата не растет (<math>g_w=0</math>), и модель превращается в полный аналог изначальной модели Удзавы.
Влияние государственной политики на равновесие в модели
Графически равновесие в модели показано на иллюстрации. Синяя линия показывает общую отдачу от образования для экономики (<math>r^{**}</math>). Зелёная линия показывает отдачу от образования для отдельного индивида. Красная линия обозначает финансовые ограничения индивида (сбережения). Точка <math>E_0</math> — пересечение финансовых ограничений и отдачи от образования для индивида, конкурентное равновесие. Точка <math>O_0</math> — пересечение финансовых ограничений и отдачи от образования для экономики, оптимальное (централизованное) равновесие. Точка <math>M</math> — пересечение персональной и социальной отдачи от образования, максимально возможные темпы роста при текущем уровне внешних эффектов от образования <math>\beta</math>. Для темпов роста, превышающих темпы в точке <math>M</math>, необходимо, чтобы отдача от образования для индивида превышала общую отдачу от образования для экономики, что при положительном внешнем эффекте от образования невозможноШаблон:Sfn.
Государственная политика может влиять на равновесие двумя способами. Первый вариант — стимулирование образования. Увеличение расходов на образование делает его производительность <math>\gamma</math> выше, что сдвигает линию отдачи от образования для индивида (зелёную линию) вверх, равновесие сдвигается в точку <math>E_1</math>, приближая его к точке <math>O_0</math>: темпы роста <math>g_Y</math>и процентная ставка <math>r</math> вырастут. Оптимальное равновесие не меняетсяШаблон:Sfn.
Второй вариант — поощрение сбережений (в том числе и через повышение их доходности). в этом случае линию финансовых ограничений (красную линию) индивида вправо, равновесие сдвигается в точку <math>E_2</math>: темпы роста <math>g_Y</math>и процентная ставка <math>r</math> вырастут. Однако оптимальное равновесие также изменится, оно сдвинется в точку <math>O_1</math>, приближаясь к точке <math>M</math>Шаблон:Sfn.
Возможно и одновременное применение обеих политик, тогда равновесие сдвинется в точку <math>E_3</math>, в которой темпы роста <math>g_Y</math>и процентная ставка <math>r</math> выше, чем в точках <math>E_1</math> и <math>E_2</math>Шаблон:Sfn.
Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели
Достоинством модели является то, что она, в отличие от более ранних моделей (модель Рамсея — Касса — Купманса, модель пересекающихся поколений) демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. Модель не была первой, в которой человеческий капитал интегрирован в производственную функцию, однако, в отличие от модели Менкью — Ромера — Вейла, экономический рост в модели является эндогенным. Он основывается на накоплении человеческого капитала <math>H_t</math> в форме повышения уровня образования, который усиливается внешними эффектами от распространения знаний в экономике. Таким образом, в модели Удзавы — Лукаса показано, что решения экономических агентов об уровне образования могут быть источником устойчивого экономического роста наряду с научно-техническим прогрессомШаблон:Sfn, тем самым показав важность изучения человеческого капитала и внешних эффектов от негоШаблон:Sfn. Благодаря этому, модель привлекла внимание многих исследователей к зарождающейся теории эндогенного экономического ростаШаблон:Sfn.
Также как и модель обучения в процессе деятельности, модель Удзавы — Лукаса не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатыеШаблон:Sfn. Это более реалистичный вывод, чем у моделей Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, предполагавших, что при одинаковых структурных параметрах, бедные страны должны догонять богатые. В большинстве случаев бедные страны действительно не могут догнать богатыеШаблон:Sfn, хотя единичные примеры таких стран известны (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо). Более того, в модели обучения в процессе деятельности различия, существующие между странами, со временем только нарастают, а значит, бедные страны не только не могут догнать богатые, но и всё больше отстают от них. Такой вывод представляется чрезмерно пессимистичным по отношению к развивающимся странам и эмпирически не подтверждаетсяШаблон:Sfn.
В отличие от модели обучения в процессе деятельности, устойчивые темпы роста в модели Удзавы — Лукаса не зависят от масштаба экономики <math>L_t</math>, что является более реалистичным выводам, поскольку в ряде исследований было показано, что большие страны не растут быстрее малых. Например, Чарльз Джонс показал, что такая предпосылка не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил Шаблон:Нп3, объясняющую полученные результаты, являющуюся упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаровШаблон:Sfn.
Вместе с тем, эмпирические исследования показали очень слабое влияние внешних эффектов от человеческого капитала на совокупный выпуск (исследования Дж. РаучаШаблон:Sfn, Д. Аджемоглу и Дж. АнгристаШаблон:Sfn, Э. ДюфлоШаблон:Sfn, Э. МореттиШаблон:Sfn, А. Чикконе и Дж. ПериШаблон:Sfn). Потому, модель не дала исчерпывающего ответа на вопрос о причинах экономического роста, хотя и внесла вклад в их пониманиеШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
Шаблон:Экономический рост Шаблон:Макроэкономика
