Русская Википедия:Модель мультипликатора-акселератора
Модель мультипликатора-акселератора или модель Самуэльсона-Хикса — динамическая экономическая модель (модель экономических циклов), связывающая экономические циклы с взаимодействием мультипликатора инвестиций (больший рост выпуска по сравнению с вызвавшим его ростом инвестиций) и акселератора (увеличение инвестиций, индуцированное ростом выпуска).
Описание модели
Модель потребительских расходов:
- <math>C_t=a_c+b_C Y_{t-1}</math>
где <math>a_C>0</math> — автономное потребление; <math>b_C</math>-склонность к потреблению, <math>0<b_C<1</math>.
Модель инвестиций:
- <math>I_t=a_I+b_I(Y_{t-1}-Y_{t-2})</math>
где <math>a_I</math> — автономные инвестиции, <math>b_I</math> — акселератор, определяющий индуцированные инвестиции.
Модель государственных расходов и чистого экспорта
- <math>G_t+NX_t=a_{GNX}=const</math>
Тождество дохода (равновесие на рынке товаров и услуг):
- <math>Y_t=C_t+I_t+G_t+NX_t</math>
Подставив модель потребительских расходов и индуцированных инвестиций в условие равновесия получим следующее динамическое уравнение:
- <math>Y_t=a_C+a_I+a_{GNX}+(b_C+b_I)Y_{t-1}-b_IY_{t-2}=a+(b_C+b_I)Y_{t-1}-b_IY_{t-2}</math>
В стационарном состоянии <math>Y_t=Y_{t-1}=Y_{t-2}=Y^*</math>, поэтому
- <math>Y^*=\frac {a}{1-b_C}</math>
Введем в рассмотрение отклонения выпуска от стационарного уровня <math>\Delta Y=Y-Y^*</math>. Тогда подставив <math>Y=Y^*+\Delta Y</math> в уравнение динамики выпуска получим следующее динамическое уравнение для отклонений от стационарного выпуска:
- <math>\Delta Y_t =(b_C+b_I)\Delta Y_{t-1}-b_I \Delta Y_{t-2}</math>
Это однородное конечно-разностное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет вид:
- <math>\lambda^2 -(b_C+b_I)\lambda+b_I=0</math>
Если дискриминант этого уравнения равен нулю, то имеем единственный корень <math>\lambda=\sqrt{b_I}</math> решение конечно-разностного уравнения имеет вид:
- <math>\Delta Y_t=\alpha \lambda^t+\beta t \lambda^t</math>
В противном случае решение имеет вид:
- <math>\Delta Y_t=\alpha \lambda_1^t+\beta \lambda_2^t</math>
В случае действительных корней (как в случае одного корня, так и двух) это означает, что либо имеет место монотонное экспоненциальное приближение к равновесному уровню (характеристические корни меньше единицы), либо выпуск бесконечно растет экспоненциально (корни больше единицы).
В случае комплексных корней — они являются сопряженными вместо монотонной динамики имеет место циклическая. В самом деле, если комплексные корни равны <math>\lambda=\rho e^{\pm i \omega}</math> (<math>\rho=\sqrt{b_I}</math>), то <math>\lambda^t=\rho^t e^{\pm i \omega t}=\rho^t (\cos \omega t \pm i \sin \omega t)</math>. Таким образом, решение в случае комплексных корней имеет вид:
- <math>\Delta Y_t=b^{t/2}_I(\alpha_0 \cos \omega t+\beta_0 \sin \omega t)</math>
Таким образом, имеем затухающий циклический процесс (если акселератор меньше единицы) или циклический процесс с возрастающей амплитудой (если акселератор больше единицы). Регулярный циклический процесс имеет место только в исключительно случае, когда акселератор равен единице.
См. также
