Русская Википедия:Модуль непрерывности
Для любой функции <math>f</math>, определённой на множестве <math>E</math>, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого <math>\omega_f(\delta)</math>. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная
- <math>\omega_f(\delta)=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon(x_1,\;x_2\in E)\land|x_1-x_2|<\delta\},</math>
или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из <math>E</math> длиной меньше <math>\delta</math>. Также в литературе встречаются другие обозначения: <math>\omega(f,\;\delta)</math> и (реже) <math>\omega(\delta,\;f)</math>.
Свойства модуля непрерывности
Введённая функция обладает рядом интересных свойств.
- При любом <math>\delta</math> она неотрицательна.
- Функция не убывает.
- Функция полуаддитивна, если <math>E</math> выпукло:
- <math>\omega_f(\delta_1+\delta_2)\leqslant\omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2).</math>
- По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:
- <math>\omega_f(0)\stackrel{\mathrm{def}}{=}0.</math>
- Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция <math>f</math> определена на отрезке <math>[a,\;b]</math> и непрерывна на нём, то <math>\lim_{\delta\to 0+}{\omega_f(\delta)}=0</math>, и наоборот. Данный предел обозначается также <math>\omega_f(0+)</math>.
- Если <math>f(x)</math> непрерывна на <math>[a,\;b]</math>, то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке <math>[0,\;b-a]</math>.
Связанные понятия
Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:
- принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
- гладкость;
- дифференцируемость;
- возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
- и многих других.
Вариации и обобщения
Модули непрерывности высших порядков
Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции <math>f</math>.
- <math>\omega_f(\delta)=\sup\{|\Delta^1_h(f,\;x)|\colon(x\in E)\land|h|<\delta\}.</math>
Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка <math>n</math>, то получим определение модуля непрерывности порядка <math>n</math>. Обычное обозначение для таких модулей — <math>\omega_n(f,\;\delta)</math>.
Свойства
- Если <math>k</math> — целое число, то <math>\omega_n(f,\;k\delta)\leqslant k^n\omega_n(f,\;\delta).</math>
Неклассические модули непрерывности
Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.
Ссылки
