Русская Википедия:Моноид

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество Шаблон:S на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент <math>e</math>, что <math>ex=x=xe</math> для любого <math>x\in M</math>. Элемент <math>e</math> называется единицей и часто обозначается <math>1</math>. В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Моноиды возникают в различных областях математики; например, моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта. Таким образом, моноиды обобщают свойства композиции функций. Также моноиды используются в информатике и в теории формальных языков.

Примеры

  • Всякая группа является моноидом.
  • Множество всех отображений произвольного множества <math>S</math> в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.
  • Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры <math>A</math> является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.
  • Любую полугруппу S можно превратить в моноид, просто присоединив элемент e и определив e*s = s = s*e для всех s ∈ S.
  • Неотрицательные числа (Натуральные числа и ноль) образуют коммутативный моноид (моноид с коммутативной операцией) как по умножению, так и по сложению.
  • Множество всех конечных строк с элементами из алфавита Σ образует моноид, обычно обозначаемый Σ∗. Операция определяется как конкатенация строк.
  • Зафиксируем моноид M. Тогда множество всех функций из фиксированного множества в M образует моноид; единица которого — функция, отображающая всё множество в единицу M, операция определяется поточечно.
  • Список с операцией конкатенации и пустым списком как нейтральным элементом.
  • Словарь. Нейтральный элемент — пустой словарь. Операция — объединение словарей по ключу, при равенстве ключа для значений должна быть определена операция слияния (замечание: если операция слияния значений некоммутативна, то слияние словарей тоже будет некоммутативно). Например, можно определить операцию слияния как
    • числа складывать
    • строки конкатенировать
    • списки конкатенировать
    • для вложенных словарей проводить операцию рекурсивно

Например, словари 

 {"a" => 2, "b" => "cd", "c" => [1, 2], "d" => {"e" => 1}, "f" => 1}
 {"a" => 3, "b" => "e", "c" => [3], "d" => {"e" => 2}, "g" => 1}

могут быть объединены в 

 {"a" => 5, "b" => "cde", "c" => [1, 2, 3], "d" => {"e" => 3}, "f" => 1, "g" => 1}

Свойства

Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.Шаблон:Нет АИ

Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как <math>a^0=e, \forall a</math> Так как моноид является частным случаем полугруппы, то для его элементов определена натуральная степень. Свойства степени <math>a^{m+n}=a^m a^n, (a^m)^n=a^{mn}</math> остаются справедливыми для <math>\mathbb N\cup\{0\}</math>.

Можно ввести определение обратимого элемента моноида: x является обратимым, если существует такой элемент y, что xy = yx = e. Если y и z — два элемента с таким свойством, то по ассоциативности y = (zx)y = z(xy) = z, следовательно, обратный элемент определён однозначно[1] (обычно его обозначают x−1). Множество всех обратимых элементов моноида образует группу (возможно, тривиальную).

С другой стороны, не каждый моноид можно вложить в группу. Например, вполне возможно что в моноиде существуют элементы a и b, такие что ab = a и при этом b не является нейтральным элементом. Если бы этот моноид являлся подмножеством некоторой группы, мы могли бы домножить обе части равенства на a−1 слева и получили бы противоречие. Говорят, что моноид M обладает свойством сокращения, если, для любых его элементов, <math>ab=ac\Rightarrow b=c</math> и <math>ba=ca\Rightarrow b=c</math>. Коммутативный моноид со свойством сокращения можно вложить в группу, используя конструкцию группы Гротендика. Это обобщает способ, по которому аддитивную группу целых чисел можно восстановить по аддитивной группе натуральных чисел.

Конечный моноид со свойством сокращения всегда является группой. Действительно, пусть x — произвольный элемент такого моноида. Из принципа Дирихле следует, что xn = xm для некоторых m > n > 0. Но тогда из свойства сокращения следует, что xm−n = e, где e — единица. Следовательно, x * xm−n−1 = xm−n−1 * x = e, так что x обратим.

Гомоморфизм из моноида M в моноид N — это функция <math>f\colon M \to N</math>, такая что <math>f(xy)=f(x)\cdot f(y)</math> (для любых x и y из M) и <math>f(e)=e</math>.

Связь с теорией категорий

Аксиомы моноида совпадают с теми аксиомами, которые накладываются на композицию морфизмов одного объекта в категории, то есть моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта.

Аналогично, гомоморфизмы моноидов — это в точности функторы между соответствующими категориями.[2] Эта конструкция задаёт эквивалентность между категорией (малых) моноидов Mon и полной подкатегорией в Cat.

Существует также категорное понятие моноида, обобщающее свойства моноида на произвольную моноидальную категорию. Например, моноид в категории множеств — это обычный моноид, определённый выше, тогда как моноид в категории абелевых групп — ассоциативное кольцо с единицей.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2nd ed.), Dover — ISBN 978-0-486-47189-1.

Ссылки

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Monoid, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Jacobson, I.5. p. 22
  2. ↑ Awodey, Steve (2006). Category Theory. Oxford Logic Guides 49. Oxford University Press. p. 10. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Моноид&oldid=10403895