Русская Википедия:Мультиномиальный коэффициент

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении <math>(x_1+x_2+\dots + x_m)^n</math> по мономам <math>x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}</math>:

<math>(x_1+x_2+\dots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}.</math>

Явная формула

Значение мультиномиального коэффициента <math>\textstyle \binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m}</math> определено для всех целых неотрицательных чисел n и <math>k_1, k_2, \dots, k_m</math> таких, что <math>k_1+k_2+\dots+k_m=n</math>:

<math>\binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = \frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}.</math>

Биномиальный коэффициент <math>\textstyle \binom{n}{k}</math> для неотрицательных целых чисел n, k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

<math>{n\choose k} = {n\choose k,\ n-k}.</math>

Свойства

• В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент <math>\textstyle\binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m}</math> равен числу упорядоченных разбиений n-элементного множества на m подмножеств мощностей <math>k_1, k_2, \dots, k_m</math>.

• <math>\sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = m^n.</math>

• из формулы Стирлинга при фиксированных <math>(\alpha_i)_{i=1}^{n} \in (0;1)^n,\ \alpha_1+\dots+\alpha_k = 1</math> следует асимптотическая формула <math>\binom{n}{\alpha_1 n,\ \dots,\ \alpha_k n} \sim \left({\frac{1}{{\alpha_1}^{\alpha_1} \dots {\alpha_k}^{\alpha_k}} + o(1)}\right)^{n}</math>

См. также

• Мультиномиальное распределение