Русская Википедия:Начальный объект
Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект <math>I</math> категории <math>\mathcal C</math> такой, что для любого объекта <math>X \in \mathrm{Ob}_\mathcal{C}</math> существует единственный морфизм <math>I \to X</math>.
Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект <math>T</math> — терминальный, если для любого объекта <math>X \in \mathrm{Ob}_\mathcal{C}</math> существует единственный морфизм <math>X \to T</math>.
Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.
Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.
Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если <math>I_1</math> и <math>I_2</math> — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.
Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы <math>\varnothing \to \mathcal C</math>, то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.
Примеры
В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).
В категории колец кольцо целых чисел <math>\Z</math> является начальным объектом, и нулевое кольцо с <math>0=1</math> — терминальным объектом. В категории полей не существует начальных и терминальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики <math>p</math> имеется начальный объект — поле из <math>p</math> элементов.
В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория <math>\mathbf 1</math> с единственным объектом и морфизмом.
Любое топологическое пространство <math>X</math> можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими, что <math>U \subset V</math>, существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории, <math>X</math> — терминальный. Для такой категория топологического пространства <math>X</math> и произвольной малой категории <math>\mathcal C</math> все контравариантные функторы из <math>X</math> в <math>\mathcal C</math> с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на <math>X</math> с коэффициентами в <math>\mathcal C</math>. Если <math>\mathcal C</math> имеет начальный объект <math>c</math>, то постоянный функтор, отображающий <math>X</math> в <math>c</math>, является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.
В категории схем спектр <math>\mathbf{Spec}(Z)</math> — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.
Начальные и терминальные объекты также можно характеризовать при помощи универсальных стрелок и сопряжённых функторов. Для категории <math>\mathbf 1</math> из единственного объекта <math>\bullet</math> и (единственного) функтора <math>U \colon \mathcal C \to \mathbf 1</math> начальный объект <math>I</math> категории <math>\mathcal C</math> — это универсальная стрелка из <math>\bullet</math> в <math>U</math>. Функтор, отправляющий <math>\bullet</math> в <math>I</math> — левый сопряженный для <math>U</math>. Соответственно, терминальный объект <math>T</math> категории <math>\mathcal C</math> — универсальная стрелка из <math>U</math> в <math>\bullet</math>, а функтор, отправляющий <math>\bullet</math> в <math>I</math> — правый сопряженный для <math>U</math>. Обратно, универсальная стрелка из <math>X</math> в функтор <math>U</math> может быть определена как начальный объект в категории запятой <math>(X \downarrow U)</math>. Двойственно, универсальный морфизм из <math>U</math> в <math>X</math> — терминальный объект в <math>(U \downarrow X)</math>.
Литература
