Русская Википедия:Ноль
Шаблон:Значения Шаблон:Похожие буквы
Шаблон:Натуральное число Шаблон:Врезка
Ноль (0, нуль от Шаблон:Lang-la — никакойШаблон:Sfn) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее[1], то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль[2].
Большой толковый словарь Кузнецова (2009)[3] приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).
Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике[4].
Ноль в математике
Цифра «ноль» в математике
Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 410 и 4010; 416 и 4016 (нижний индекс означает основание системы счисления). Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи <math>7, 70, 700.</math>
С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.
В десятичной системе счисления:
- Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
- Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.
Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.
Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:
- Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
- Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.
Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.
Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием <math>k</math> число делится на <math>k^n</math>, если оно оканчивается на <math>n</math> нулей.
Число «ноль» в математике
Принадлежность к натуральным числам
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам[5], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль[6].
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом <math>\mathbb{N}</math>. Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения[7]:
- <math>\mathbb{N}</math> — натуральные числа, включая ноль: <math>\{0,1,2,3,4\dots\}</math>.
- <math>\mathbb{N^*}</math> — натуральные числа без нуля: <math>\{1,2,3,4\dots\}</math>.
Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1[8]. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ <math>\mathbb{N}</math> обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, <math>\mathbb{N}_0, \Z_0</math> Шаблон:Итд[6]
Основные свойства нуля
- 0 — целое число.
- На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.
- Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: <math>0/2 = 0</math>.
- Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: <math>-0</math>, <math>+0</math>, однако это не числа в обычном смысле.
- Любое число при сложении с нулём не меняется: <math>a + 0 = 0 + a = a.</math> При вычитании нуля из любого числа получается то же число[9]: <math>a - 0 = a</math>.
- Умножение любого числа на ноль даёт ноль[9]:
- <math>a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0.</math>
- При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:
- <math>0/a = 0</math> при <math>a \neq 0.</math>
Деление на ноль
- Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.
- В самом деле, если обозначить <math>\frac{a}{0} = b</math>, то по определению деления формально должно быть <math>b \cdot 0 = a</math>, в то время как выражение <math>b \cdot 0</math>, при любом <math>b</math>, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.
- Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.
Значения отдельных функций
- Факториал нуля по соглашению[10] принят равным единице: <math>0! = 1</math>. При таком соглашении тождество <math>n!=(n-1)! \cdot n</math> будет верно и при <math>n=1.</math>
- Результат возведения нуля в любую положительную степень равен нулю: <math>0^a = 0</math> при <math>a > 0</math>. Возведение нуля в любую отрицательную степень не имеет смысла.
- Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: <math>a^0 = 1</math>.
- Выражение <math>0^0</math> (ноль в нулевой степени) принято считать лишённым смысла[11][12][13], то есть неопределённым.
- Связано это с тем, что функция двух переменных <math>x^y</math> в точке <math>\{0,0\}</math> имеет неустранимый разрыв.
- В самом деле, вдоль положительного направления оси <math>X,</math> где <math>y=0,</math> она равна единице, а вдоль положительного направления оси <math>Y,</math> где <math>x=0,</math> она равна нулю. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.
Ноль в геометрии
- Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
- Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
- Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
- Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
- На окружности расположения 0° и 360° совпадают.
Ноль в математическом анализе
- При вычислении предела отношения <math>(a/b)</math>, где <math>a \rightarrow 0</math> и <math>b \rightarrow 0</math>, возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение <math>(0/0)</math>, значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: <math>\left ( \frac{0}{0} \right )</math>, <math>(0^0)</math>, <math>(\infty^0)</math>, <math>(0\cdot\infty)</math>.
- Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:
- Правый предел: <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty,</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{}~{+\infty}</math>.
- Левый предел: <math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty,</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{}~{-\infty}</math>.
Обобщения (ноль в общей алгебре)
Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)
Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера <math>n\times n</math> является нулевым элементом кольца квадратных матриц <math>M_n(R)</math>. Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, <math>p(x)\equiv 0</math>.
Ноль в информатике и вычислительной технике
Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике
Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.
При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру Шаблон:Big с латинской или русской буквой Шаблон:Big, что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация[14] Шаблон:Iw: <math>\emptyset</math>. Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву Шаблон:Big, а не нуль[15]. Знакогенераторы многих текстовых терминалов, видеоадаптеров и матричных принтеров при работе в текстовом режиме также выводят нуль в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля)[16][17]. На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в центре. Визуальное различие цифры Шаблон:Big от буквы Шаблон:Big остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам. В пропорциональных шрифтах буква Шаблон:Big заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.
Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀).
Некоторые шрифты OpenType включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS имеется специальная опция font-feature-settings: zero.
Число «ноль» в информатике и вычислительной технике
В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.
Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив <math>M_0, M_1\dots M_{n-1}.</math> Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.
В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.
В математике <math>-0 = +0 = 0</math>; то есть <math>-0, +0</math> представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.
| Десятичное представление |
Двоичное представление (8 бит) | ||
|---|---|---|---|
| прямой | обратный | дополнительный | |
| +0 | 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000 |
| -0 | 1000 0000 | 1111 1111 | |
История использования нуля
История цифры 0
Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.
Древний Восток
Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту[18][19].
Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.
Майя и инки
Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года Шаблон:Донэ по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему)[20]. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль, то есть 8 декабря 36 года Шаблон:Донэ
Любопытно, что тем же знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как он означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину»[21]. Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.
В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом Шаблон:Lang-qu (букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».
Индия
В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом Шаблон:Lang («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ для нуля обнаружен в индийском «манускрипте Бакхшали» от 876 г. н. э., он имеет вид жирной точки или закрашенного кружка, названного впоследствии Шаблон:Lang «точка пустоты»[22][23].
От индийцев через арабов, называвших цифру 0 ṣifr (отсюда слова цифра, шифр, и Шаблон:Lang-it, ноль), она попала в Западную Европу[24].
Европа
В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой[25]. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля (0) называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско, написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов c XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478)Шаблон:Sfn.
С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.
Россия
Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой оШаблон:Sfn.
История числа «ноль»
Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали вместо неё иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц[26].
В китайских записях чисел цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «иероглифов императрицы У Цзэтянь».
В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от Шаблон:Lang-grc — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.
В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Викисловарь Шаблон:Викисловарь Шаблон:Викисловарь
- История нуля
- Почему нельзя делить на ноль?
- Символика чисел (нуль) /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
- О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
- Свойства числа ноль
- Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
- ↑ Шаблон:Начало цитатыСамая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.Шаблон:Конец цитаты
- ↑ Шаблон:Книга, Extract of pages 254—255 Шаблон:Wayback
- ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ 9,0 9,1 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Что такое степень числа Шаблон:Wayback // Школьная математика, интернет-ресурс.
- ↑ Почему число в степени 0 равно 1? Шаблон:Wayback // Науколандия, интернет-ресурс.
- ↑ Степенная функция Шаблон:Wayback // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 13—14, 19.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга — С. 17, 113—114.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 13, 80—81.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ «Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.
- ↑ Шаблон:Книга
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Числа Шаблон:Натуральные числа до 1000
