Русская Википедия:Нулевая матрица

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нулева́я ма́трица — это матрица, размера <math>m\times n,</math> все элементы которой равны нулю. Она обозначается как <math>Z</math> или <math>O</math> или <math>O_{m,n}</math>Шаблон:Sfn

<math>Z=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>

Признаки

Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.

Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.

Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).

Свойства

• Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:

<math>a\,Z = Z.</math>

• Сумма матрицы <math>A</math> и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице <math>A</math>:

<math>A + Z = A,\;\;\;Z + A = A.</math>

• Разница матрицы <math>A</math> и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице <math>A</math>:

<math>A - Z = A.</math>

• Произведение матрицы <math>A</math> размера <math>l\times m,</math> на нулевую матрицу размера <math>m\times n,</math> равно нулевой матрице размера <math>l\times n:</math>

<math>A \cdot Z = Z.</math>

• Квадратная нулевая матрица n×n при <math>n\geqslant 1</math> является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:

  <math>\left|Z\right| = 0.</math>

  Таким образом, такая матрица не имеет обратной.

• Квадратная нулевая матрица является симметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:

<math>Z^{T}=Z.</math>

• Квадратная нулевая матрица является также кососимметричной:

<math>Z^{T} = -Z \,( = Z).</math>

Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.

• Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.

• Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.

• Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:

<math>ZA = AZ = Z</math>.

Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.

Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что <math>N M = Z_{m\times n}</math> существуют тогда и только тогда, когда <math>l\geqslant 2</math>. Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда <math>n\geqslant 2</math>. Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.

Литература

• Шаблон:Книга