Русская Википедия:Объект категории

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Объе́кт катего́рии — базовое, неопределяемое понятие теории категорий, применяемое для обозначения элементов категории, в роли которых могут выступать математические объекты, объединяемые заданной категорией в совокупность — таковыми могут быть, например, множества (объекты категории множеств), алгебраические системы определённого класса (например, кольца — объекты категории колец), топологические пространства (объекты категории топологических пространств), схемы (объекты категории схем).

Кроме класса объектов, каждая категория состоит также из класса морфизмов — совокупностей преобразований объектов; при этом морфизмы одной категории могут рассматриваться как объекты в какой-либо другой или наоборот, то есть, разделение составляющих категории на объекты и морфизмы имеет смысл только в рамках фиксированной категории.

Для заданной категории <math>\mathcal C</math> класс её объектов обычно обозначается <math>Ob_\mathcal C</math>. Всякому объекту <math>A \in Ob_\mathcal C</math> соответствует единственный единичный морфизм <math>1_A\colon A\to A</math>, притом уникальный в данной категории, то есть единичные морфизмы разных объектов совпадать не могут. Благодаря этому факту можно определить понятие категории не прибегая к введению объектов, а лишь с помощью морфизмов. Кроме того, в построениях теории высших категорий объекты называют «0-морфизмами», морфизмы объектов (морфизмы в обычном смысле) — «1-морфизмами», морфизмы морфизмов — «2-морфизмами» и так далее, тем самым подчёркивая общность объектов и их преобразований в категорном языке. Тем не менее, понятие объекта категории является удобным для описания соответствующего вида элементов, поэтому практически всегда используется.

Некоторые типы объектов

• Объект <math>P\in Ob\,\mathcal C</math> называется универсальным притягивающим (терминальным) объектом, если для любого объекта <math>A\in Ob\,\mathcal C</math> существует единственный морфизм <math>A \stackrel{f}{\longrightarrow} P</math>.
• Объект <math>R\in Ob\,\mathcal C</math> называется универсальным отталкивающим (инициальным, начальным) объектом, если для любого объекта <math>A\in Ob\,\mathcal C</math> существует единственный морфизм <math>R \stackrel{f}{\longrightarrow} A</math>.
• Объект <math>R\in Ob\,\mathcal C</math> называется нулевым, если он одновременно универсальный притягивающий и отталкивающий.

Литература

• Книга:Категории для работающего математика