Русская Википедия:Операция «Snub»
| Файл:Uniform polyhedron-43-s012.png Плосконосый куб или плосконосый кубооктаэдр |
Файл:Uniform polyhedron-53-s012.png Плосконосый додекаэдр или плосконосый икосододекаэдр |
Операция snub или отсечение вершин — это операция, применяемая к многогранникам. Термин появился из названий, данных Кеплером двум архимедовым телам — плосконосый куб (cubus simus) и плосконосый додекаэдр (dodecaedron simum)[1]. В общем случае плосконосые формы имеют хиральную симметрию двух видов, с ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Согласно названиям Кеплера, отсечение вершин можно рассматривать как растяжение правильного многогранника, когда исходные грани отодвигаются от центра и поворачиваются относительно центров, вместо исходных вершин добавляются многоугольники с центрами в этих вершинах, а пары треугольников заполняют пространство между исходными рёбрами.
Терминологию обобщил Коксетер со слегка другим определением для более широкого множества однородных многогранников.
Операция «snub» Конвея
Джон Конвей исследовал обобщённые операции над многогранниками, определяя то, что называется теперь нотацией Конвея для многогранников, которая может быть применена к многогранникам и мозаикам. Конвей назвал операцию Коксетера semi-snub (полу-snub)Шаблон:Sfn.
В этой нотации snub определяется как композиция двойственного и gyro операторов, <math>s = dg</math>, и это эквивалентно последовательности операторов Шаблон:Не переведено 5, усечения и ambo. Нотация Конвея избегает операции альтернирования, поскольку та применима только к многогранниками с гранями, имеющими чётное число сторон.
| Многогранники | Евклидовы мозаики | Гиперболические мозаики | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Нотация Конвея |
sT | sC = sO | sI = sD | sQ | sH = sΔ | sΔ7 |
| Плосконосый многогранник |
Тетраэдр | Куб или Октаэдр |
Икосаэдр или Додекаэдр |
Квадратная мозаика | Шестиугольная мозаика или Треугольная мозаика |
Семиугольная мозаика или Шаблон:Не переведено 5 |
| Файл:Uniform polyhedron-33-t0.pngФайл:Uniform polyhedron-33-t2.png | Файл:Uniform polyhedron-43-t0.pngФайл:Uniform polyhedron-43-t2.png | Файл:Uniform polyhedron-53-t0.pngФайл:Uniform polyhedron-53-t2.png | Файл:Uniform tiling 44-t0.svgФайл:Uniform tiling 44-t2.png | Файл:Uniform tiling 63-t0.pngФайл:Uniform tiling 63-t2.png | Файл:Uniform tiling 73-t0.pngФайл:Uniform tiling 73-t2.png | |
| Рисунок | Файл:Uniform polyhedron-33-s012.png | Файл:Uniform polyhedron-43-s012.png | Файл:Uniform polyhedron-53-s012.png | Файл:Uniform tiling 44-snub.png | Файл:Uniform tiling 63-snub.png | Файл:Uniform tiling 73-snub.png |
В 4-мерных пространствах Конвей считает, что Шаблон:Не переведено 5 должен называться полуплосконосым 24-ячейником, поскольку он не представляет альтернированный Шаблон:Не переведено 5, как его аналог в 3-мерном пространстве. Вместо этого он является альтернированным Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.
Операции «snub» Коксетера, правильная и квазиправильная
| Исходное тело | Полноусечённый многогранник r |
Усечённый многогранник t |
Шаблон:Не переведено 5 h |
|---|---|---|---|
| Cube |
Кубооктаэдр Полноусечённый куб |
Усечённый кубооктаэдр Скошено-усечённый куб |
Плосконосый кубооктаэдр Плосконосый полноусечённый куб |
| C | CO rC |
tCO trC или trO |
htCO = sCO htrC = srC |
| {4,3} | <math>\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> или r{4,3} | <math>t \begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> или tr{4,3} | <math>ht \begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix} = s \begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> htr{4,3} = sr{4,3} |
| Шаблон:CDD | Шаблон:CDD или Шаблон:CDD | Шаблон:CDD или Шаблон:CDD | Шаблон:CDD или Шаблон:CDD |
| Файл:Uniform polyhedron-43-t0.png | Файл:Uniform polyhedron-43-t1.png | Файл:Uniform polyhedron-43-t012.png | Файл:Uniform polyhedron-43-s012.png |
Шаблон:- Терминология «snub» (отсечения вершин) Коксетера несколько отличается и означает Шаблон:Не переведено 5 усечение, по которому плосконосый куб получается операцией snub (отсечение вершин) из кубооктаэдра, а плосконосый додекаэдр — из икосододекаэдра. Это определение используется в названиях двух тел Джонсона — плосконосый двуклиноид и плосконосая квадратная антипризма, а также в названиях многогранников более высокой размерности, таких как 4-мерный Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:CDD или s{3,4,3}.
Правильный многогранник (или мозаика) с символом Шлефли, <math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math> и диаграммой Коксетера Шаблон:CDD имеет усечение, определённое как <math>t \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math> с диаграммой Шаблон:CDD, и плосконосую форму, определённую как Шаблон:Не переведено 5 усечение <math>ht \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} = s \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math> с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD. Это построение требует, чтобы q было чётным.
Квазиправильный многогранник <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> или r{p,q}, с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD или Шаблон:CDD имеет квазиправильное усечение, определённое как <math>t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> или tr{p,q} (с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD или Шаблон:CDD) и квазиправильную плосконосую форму, определённую как Шаблон:Не переведено 5 усечение полного усечения <math>ht\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} = s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> или htr{p,q} = sr{p,q} (с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD или Шаблон:CDD).
Например, плосконосый куб Кеплера получается из квазирегулярного кубооктаэдра с вертикальным символом Шлефли <math>\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> (и диаграммой Коксетера Шаблон:CDD) и более точно называется плосконосый кубооктаэдр, который выражается символом Шлефли <math>s\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> (с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD). Плосконосый кубооктаэдр является альтернацией усечённого кубооктаэдра <math>t\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> (Шаблон:CDD).
Правильные многогранники с чётным порядком вершин также могут быть приведены к плосконосой форме как альтернированное усечение, подобно как плосконосый октаэдр <math>s\begin{Bmatrix} 3 , 4 \end{Bmatrix}</math> (Шаблон:CDD) (и плосконосый тетратетаэдр <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>, Шаблон:CDD) представляет псевдоикосаэдр, правильный икосаэдр с пиритоэдральной симметрией. Плосконосый октаэдр является альтернированной формой усечённого октаэдра, <math>t\begin{Bmatrix} 3 , 4 \end{Bmatrix}</math> (Шаблон:CDD), или в форме тетраэдральной симметрии: <math>t\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> и Шаблон:CDD.
| Усечённый t |
Альтернированный h | |
|---|---|---|
| Октаэдр O |
Усечённый октаэдр tO |
Плосконосый октаэдр htO или sO |
| {3,4} | t{3,4} | ht{3,4} = s{3,4} |
| Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD |
| Файл:Uniform polyhedron-43-t2.png | Файл:Uniform polyhedron-43-t12.png | Файл:Uniform polyhedron-43-h01.png |
Операция отсечения вершин (носов) Коксетера позволяет также определить n-антипризму как <math>s\begin{Bmatrix} 2 \\ n \end{Bmatrix}</math> или <math>s\begin{Bmatrix} 2 , 2n \end{Bmatrix}</math> на основе n-призм <math>t\begin{Bmatrix} 2 \\ n \end{Bmatrix}</math> или <math>t\begin{Bmatrix} 2 , 2n \end{Bmatrix}</math>, а <math>\begin{Bmatrix} 2 , n \end{Bmatrix}</math> является правильным осоэдром, вырожденным многогранником, который является допустимой мозаикой на сфере с двуугольными или луноподобными гранями.
| Рисунок | Файл:Digonal antiprism.png | Файл:Trigonal antiprism.png | Файл:Square antiprism.png | Файл:Pentagonal antiprism.png | Файл:Hexagonal antiprism.png | Файл:Antiprism 7.png | Файл:Octagonal antiprism.png | Файл:Infinite antiprism.svg |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Диаграммы Коксетера |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD |
Шаблон:CDD... Шаблон:CDD... |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD |
| Символ Шлефли |
s{2,4} | s{2,6} | s{2,8} | s{2,10} | s{2,12} | Шаблон:Не переведено 5 | Шаблон:Не переведено 5... | Шаблон:Не переведено 5 |
| sr{2,2} <math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 2 \end{Bmatrix}</math> |
sr{2,3} <math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> |
sr{2,4} <math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 4 \end{Bmatrix}</math> |
sr{2,5} <math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 5 \end{Bmatrix}</math> |
sr{2,6} <math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 6 \end{Bmatrix}</math> |
sr{2,7} <math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 7 \end{Bmatrix}</math> |
sr{2,8}... <math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 8 \end{Bmatrix}</math>... |
sr{2,∞} <math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ \infin \end{Bmatrix}</math> | |
| Нотация Конвея |
A2 = T | A3 = O | A4 | A5 | A6 | A7 | A8... | A∞ |
Тот же процесс применим для плосконосых мозаик:
| Треугольная мозаика Δ |
Усечённая треугольная мозаика tΔ |
Плосконосая треугольная мозаика htΔ = sΔ |
|---|---|---|
| {3,6} | t{3,6} | ht{3,6} = s{3,6} |
| Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD |
| Файл:Uniform tiling 63-t2.png | Файл:Uniform tiling 63-t12.png | Файл:Uniform tiling 63-h12.png |
Примеры
| Пространство | Сферическая | Евклидово | Гиперболическое | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Рисунок | Файл:Trigonal antiprism.png | Файл:Uniform polyhedron-33-s012.png | Файл:Uniform polyhedron-43-s012.png | Файл:Uniform polyhedron-53-s012.png | Файл:Uniform tiling 63-snub.png | Файл:Uniform tiling 73-snub.png | Файл:Uniform tiling 83-snub.png | Файл:Uniform tiling i32-snub.png |
| Диаграмма Коксетере |
Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | ...Шаблон:CDD |
| Символ Шлефли |
sr{2,3} | sr{3,3} | sr{4,3} | sr{5,3} | sr{6,3} | Шаблон:Не переведено 5 | Шаблон:Не переведено 5 | ...Шаблон:Не переведено 5 |
| <math>s\begin{Bmatrix} 2 \\3 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\3 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 4 \\3 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 5 \\3 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 6 \\3 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 7 \\3 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 8 \\3 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} \infin \\3 \end{Bmatrix}</math> | |
| Нотация Конвея |
A3 | sT | sC или sO | sD или sI | sΗ или sΔ | |||
| Пространство | Сферическое | Евклидово | Гиперболическое | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Рисунок | Файл:Square antiprism.png | Файл:Uniform polyhedron-43-s012.png | Файл:Uniform tiling 44-snub.png | Файл:Uniform tiling 54-snub.png | Файл:Uniform tiling 64-snub.png | Файл:Uniform tiling 74-snub.png | Файл:Uniform tiling 84-snub.png | Файл:Uniform tiling i42-snub.png |
| Диаграмма Коксетера |
Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | ...Шаблон:CDD |
| Символ Шлефли |
sr{2,4} | sr{3,4} | sr{4,4} | Шаблон:Не переведено 5 | Шаблон:Не переведено 5 | Шаблон:Не переведено 5 | Шаблон:Не переведено 5 | ...Шаблон:Не переведено 5 |
| <math>s\begin{Bmatrix} 2 \\4 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\4 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 4 \\4 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 5 \\4 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 6 \\4 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 7 \\4 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} 8 \\4 \end{Bmatrix}</math> | <math>s\begin{Bmatrix} \infin \\4 \end{Bmatrix}</math> | |
| Нотация Конвея |
A4 | sC или sO | sQ | |||||
Неоднородные плосконосые многогранники
У неоднородных многогранников, для которых в вершины сходятся чётное число рёбер, могут быть отсечены вершины, включая некоторые бесконечные наборы, например:
| Файл:Snub square bipyramid sequence.png |
| Плосконосая квадратная бипирамида |
|---|
| Файл:Snub hexagonal bipyramid sequence.png |
| Плосконосая шестиугольная бипирамида |
| Файл:Snub rectified hexagonal bipyramid sequence RUS.svg |
| Рисунок | Файл:Snub digonal antiprism.png | Файл:Snub triangular antiprism.png | Файл:Snub square antiprism colored.png | Файл:Snub pentagonal antiprism.png... |
|---|---|---|---|---|
| Символ Шлефли |
ss{2,4} | ss{2,6} | ss{2,8} | ss{2,10}... |
| ssr{2,2} <math>ss \begin{Bmatrix} 2 \\ 2 \end{Bmatrix}</math> |
ssr{2,3} <math>ss \begin{Bmatrix} 2 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> |
ssr{2,4} <math>ss \begin{Bmatrix} 2 \\ 4 \end{Bmatrix}</math> |
ssr{2,5}... <math>ss \begin{Bmatrix} 2 \\ 5 \end{Bmatrix}</math> |
Однородные плосконосые звёздчатые многогранники Коксетера
Плосконосые звёздчатые многогранники строятся по треугольнику Шварца (p q r) с рациональными зеркалами, в котором все зеркала активны и альтернированы.
Плосконосые многогранники и соты Коксетера в пространствах высокой размерности
В общем случае правильные 4-мерные многогранники с символом Шлефли, <math>\begin{Bmatrix} p , q, r \end{Bmatrix}</math> и диаграммой Коксетера Шаблон:CDD имеет плосконосую форму с расширенным символом Шлефли <math>s \begin{Bmatrix} p , q, r \end{Bmatrix}</math> и диаграммой Шаблон:CDD .
Полноусечённый многогранник <math>\begin{Bmatrix} p \\ q, r \end{Bmatrix}</math> = r{p,q,r}, and Шаблон:CDD has snub symbol <math>s\begin{Bmatrix} p \\ q , r \end{Bmatrix}</math> = sr{p,q,r}, and Шаблон:CDD.
Примеры
Существует лишь один однородный плосконосый многогранник в 4-мерном пространстве, Шаблон:Не переведено 5. Правильный двадцатичетырёхъячейник имеет символ Шлефли, <math>\begin{Bmatrix} 3 , 4, 3 \end{Bmatrix}</math> и диаграмму Коксетера Шаблон:CDD, а плосконосый 24-ячейник представляется символом <math>s\begin{Bmatrix} 3 , 4, 3 \end{Bmatrix}</math> и диаграммой диаграмма Коксетера Шаблон:CDD. Он имеет также построение с более низкой симметрией с индексом 6 как <math>s\left\{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}\right\}</math> или s{31,1,1} и Шаблон:CDD, и симметрией с индексом 3 как <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 , 4 \end{Bmatrix}</math> или sr{3,3,4}, Шаблон:CDD или Шаблон:CDD.
Связанные Шаблон:Не переведено 5 модно рассматривать как <math>s\begin{Bmatrix} 3 , 4, 3, 3 \end{Bmatrix}</math> или s{3,4,3,3}, Шаблон:CDD, тело с более низкой симметрией как <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 , 4, 3 \end{Bmatrix}</math> или sr{3,3,4,3} (Шаблон:CDD или Шаблон:CDD), и с наименьшей симметрией как <math>s\left\{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}\right\}</math> или s{31,1,1,1} (Шаблон:CDD).
Евклидовыми сотами являются Шаблон:Не переведено 5, s{2,6,3} (Шаблон:CDD) или sr{2,3,6} (Шаблон:CDD) или sr{2,3[3]} (Шаблон:CDD).
Другими евклидовыми (равнорёберными) сотами являются Шаблон:Не переведено 5 s{2,4,4} (and Шаблон:CDD) или sr{2,41,1} (Шаблон:CDD):
Единственными однородными плосконосыми гиперболическими сотами являются плосконосые шестиугольные мозаичные соты, s{3,6,3} и Шаблон:CDD, которые можно построить также как Шаблон:Не переведено 5, h{6,3,3}, Шаблон:CDD. It is also constructed as s{3[3,3]} and Шаблон:CDD.
Другими гиперболическими (равнорёберными) сотами являются Шаблон:Не переведено 5, s{3,4,4} и Шаблон:CDD.
См. также
Шаблон:Операции над многогранниками
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- (Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Mathworld
- Шаблон:Статья
- ↑ Kepler, Harmonices Mundi, 1619
