Русская Википедия:Ориентированная площадь

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ориентированная площадь — обобщение понятия площади, заключённой внутри замкнутой кривой на плоскости. В отличие от обычной площади, имеет знак.

Определение

Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая <math>\ell</math>, быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на <math>\ell</math> точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), называемая индексом точки относительно <math>\ell</math>. Она показывает сколько раз и в какую сторону контур <math>\ell</math> обходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, называется охватываемой <math>\ell</math> ориентированной площадью.

Свойства

Для ориентированной площади <math>S</math> заключённой внутри замкнутой ломаной <math>A_1\dots A_n</math> на плоскости выполняется равенство

<math>S\cdot \vec N=\vec{OA_1}\times \vec{A_1A_2}+\dots+\vec{OA_n}\times \vec{A_nA_1},</math>

где <math>\vec N</math> обозначает единичный вектор нормали к плоскости и <math>\times</math> — векторное произведение.

Литература

• Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956;