Русская Википедия:Ортогональные функции

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Две, в общем случае, комплекснозначные функции <math>\varphi_1(t)</math> и <math>\varphi_2(t)</math>, принадлежащие пространству Лебега <math>L_2(E)</math>, где <math>E</math> — измеримое множество, называются ортогональными, если

<math>\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0</math>

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности. Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом <math>w</math> функции <math>f</math> и <math>g</math>, если

<math>\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0</math>

где <math>\langle f(x), g(x)\rangle</math> — скалярное произведение векторов <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> — значений векторнозначных функций <math>f</math> и <math>g</math> в точке <math>x</math>, <math>x</math> — точка области <math>\Omega</math>, а <math>d\Omega</math> — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math> скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math>: <math>\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f (x) g(x)</math>.

Требование принадлежности функций пространству <math>L_2(E)</math> связано с тем, что при <math>p \neq 2</math> пространства <math>L_p(E)</math> не образуют гильбертова пространства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример

1. <math>\sin x</math> и <math>\cos x</math> являются ортогональными функциями на интервале <math>[0, \pi]</math>
2. <math>\sin (2\pi knx</math>) и <math>\cos (2\pi knx)</math>, где <math>n</math> — целое, ортогональны на интервале <math>[0, T], T = 1 / k</math>
3. <math>x</math> и <math>1</math> ортогональны на интервале <math>[-1, 1]</math>

См. также

• Ортогональность
• Ортогональная система
• Ортогональный базис
• Ряд Фурье