Русская Википедия:Параметрическое представление

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Butterfly transcendental curve.svg

Пример параметрической кривой.

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Параметрическое представление функции

Предположим, что функциональная зависимость <math>y</math> от <math>x</math> задана не непосредственно как <math>y = f(x),</math> а через промежуточную величину <math>t.</math>

Тогда формулы:

<math>x = \varphi(t);\ </math><math>y = \psi(t)</math>

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> имеют производные и для <math>\varphi</math> существует обратная функция <math>\theta,</math> явное представление функции выражается через параметрическое как:

<math>y = \psi[\theta(x)] = f(x)</math>

и производная функции <math>y(x)</math> может быть вычислена как:

<math>y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.</math>

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно или невозможно через элементарные функции.

Параметрическое представление уравнения

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны уравнением (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Параметрическое уравнение

Близкое понятие — параметрическое уравнение множества точек, когда координаты точек задаются как функции от некоторого набора свободных параметров. Если параметр один, мы получим параметрическое уравнение кривой.

<math>x = x(t); y = y(t) </math> (кривая на плоскости),

<math>x = x(t); y = y(t) ; z = z(t) </math> (кривая в 3-мерном пространстве),

Выражая координаты точек поверхности через два свободных параметра, мы получим параметрическое задание поверхности.

Примеры

Уравнение окружности имеет вид:

<math>x^2 + y^2 = r^2.</math>

Параметрическое уравнение окружности:

<math>x = r~\cos~t~;</math> <math>y = r~\sin~t~;~~ 0\leq t < 2\pi</math>

Гипербола описывается следующим уравнением:

<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.</math>

Параметрическое уравнение правой ветви гиперболы :

<math>x = a~\operatorname{ch}~t</math><math>;~y = b~\operatorname{sh}~t~;~~ -\infty < t < +\infty</math>

См. также

• Параметрическое задание поверхности

Ссылки

• Параметрическое задание кривой. Лекции по математическому анализу
• Лекции по математическому анализу. доцент кафедры математического анализа Иркутского госуниверситета Романова О. А.