Русская Википедия:Плотность заряда
Шаблон:Значения Шаблон:Физическая величина Пло́тность заря́да — количество электрического заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объёма. Таким образом определяются линейная, поверхностная и объёмная плотности заряда, которые в системе СИ измеряются в кулонах на метр (Кл/м), в кулонах на квадратный метр (Кл/м²) и в кулонах на кубический метр (Кл/м³), соответственно. В отличие от плотности вещества, плотность заряда может принимать не только положительные, но и отрицательные значения, поскольку существуют заряды обоих знаков.
Плотность заряда в классической физике
Линейная, поверхностная и объёмная плотности электрического заряда обычно задаются функциями <math>\lambda (\vec r)</math>, <math>\sigma (\vec r)</math> и <math>\rho (\vec r)</math>, соответственно, где <math> \vec r </math> — радиус-вектор. Зная эти функции, можно определить полный заряд:
- <math> Q = \int\limits_L \lambda (\vec r) \operatorname{d} r </math>,
- <math> Q = \int\limits_S \sigma (\vec r) \operatorname{d} S </math>,
- <math> Q = \int\limits_V \rho (\vec r) \operatorname{d} V </math>.
Плотность заряда в квантовой механике
В квантовой механике плотность заряда, например электрона в атоме, связана с волновой функцией <math> \psi(\vec r)</math> через соотношение
- <math> \rho(\vec{r}) = q |\psi (\vec{r})|^2 </math>,
где <math>q</math> — заряд электрона. При этом волновая функция должна иметь нормировку:
- <math> \int |\psi (\vec r)|^2 \operatorname{d}V = 1 </math>.
Определение плотности заряда через δ-функцию
Иногда требуется записать объёмную плотность заряда для системы из точечных зарядов <math>q_a</math> (<math>a =1,2,\ldots</math>). Это может быть сделано с использованием δ-функции:
- <math>\rho(\vec{r}) = \sum_aq_a\delta(\vec{r}-\vec{r}_a)</math>,
где сумма берётся по всем имеющимся зарядам, а <math>\vec{r}_a</math> — радиус-вектор заряда <math>q_a</math>.[1] Полный заряд, находящийся во всём пространстве, равен интегралу <math>\int\rho dV</math> по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырёхмерном виде:
- <math>Q=\int\rho dV = \frac{1}{c} \int j^{0}dV = \frac{1}{c} \int j^{i}ds_{i}</math>,
где интегрирование производится по всей четырёхмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси x0 (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трёхмерному пространству). <math>j^{i}</math> — 4-вектор плотности тока.
Плотность заряда в формулах электродинамики
Объёмная плотность заряда в явном виде фигурирует в одном из уравнений Максвелла: (<math>\operatorname{div}\vec{D} = \rho</math>). Кроме того, она входит в уравнение непрерывности <math>\operatorname{div}\vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math>.
Поверхностная плотность заряда входит в граничные условия для нормальных компонент электрической индукции на стыке двух сред: <math>D_{2n}- D_{1n} = \sigma</math>.
Плотность заряда в любом варианте (объёмная, поверхностная, линейная) может использоваться при вычислении напряжённости электрического поля или потенциала путём интегрирования закона Кулона
- <math>\vec E (\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{(\vec r - \vec \hat r)\,dQ(\vec \hat r)}{|\vec r - \vec \hat r|^3},\qquad
\varphi(\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dQ(\vec \hat r)}{|\vec r - \vec \hat r|}</math>, где элемент заряда <math>dQ</math> записывается как <math>\rho dV</math>, <math>\sigma dS</math> или <math>\lambda dl</math> в зависимости от конкретной задачи.
См. также
Примечания
Литература
- Книга:Сивухин Д.В.: Электричество
- САВЕЛЬЕВ И. В. Основы теоретической физики: Учеб. руководство: Для вузов. В 2 т. Т. 1. Механика и электродинамика.— 2-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 496 с. ISBN 5-02-014455-X (Т. 1)
