Русская Википедия:Поверхность Шерка
Поверхность Шерка (названа именем Генриха Шерка) является примером минимальной поверхности. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 годуШаблон:Sfn. Его первая поверхность является дважды периодической поверхностью, а вторая — просто периодической. Они были третьим нетривиальным примером минимальных поверхностей (первые две — катеноид и геликоид)[1]. Две поверхности сопряжены друг другу.
Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых задач о минимальных поверхностях и изучении гармонических диффеоморфизмов гиперболического пространства.
Первая поверхность Шерка
Первая поверхность Шерка асимптотически стремится к двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу. Поверхности образуют близ z = 0 арки мостов в шахматном порядке. Поверхность содержит бесконечное число прямых вертикальных линий.
Построение простой поверхности Шерка
Рассмотрим следующую минимальную поверхность на квадрате на евклидовой плоскости: для натурального числа n найти минимальную поверхность <math>\Sigma_n</math> как график некоторой функции
- <math>u_{n} : \left( - \tfrac{\pi}{2}, + \tfrac{\pi}{2} \right) \times \left( - \tfrac{\pi}{2}, + \tfrac{\pi}{2} \right) \to \mathbb{R}</math>
так что
- <math>\lim_{y \to \pm \pi / 2} u_{n} \left( x, y \right) = + n </math> для <math>- \tfrac{\pi}{2} < x < + \tfrac{\pi}{2},</math>
- <math>\lim_{x \to \pm \pi / 2} u_{n} \left( x, y \right) = - n</math> для <math>- \tfrac{\pi}{2} < y < + \tfrac{\pi}{2}.</math>
То есть, un удовлетворяет уравнению минимальной поверхности
- <math>\mathrm{div} \left( \tfrac{\nabla u_{n} (x, y)}{\sqrt{1 + | \nabla u_{n} (x, y) |^{2}}} \right) \equiv 0</math>
и
- <math>\Sigma_{n} = \left\{ (x, y, u_{n}(x, y)) \in \mathbb{R}^{3} \left| - \tfrac{\pi}{2} < x, y < + \tfrac{\pi}{2} \right. \right\}.</math>
Что будет с поверхностью при стремлении n к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность <math>\Sigma</math> является графиком функции
- <math>u : \left( - \tfrac{\pi}{2}, + \tfrac{\pi}{2} \right) \times \left( - \tfrac{\pi}{2}, + \tfrac{\pi}{2} \right) \to \mathbb{R},</math>
- <math>u(x, y) = \log \left( \tfrac{\cos (x)}{\cos (y)} \right).</math>
То есть поверхность Шерка над квадратом равна
- <math>\Sigma = \left\{ \left. \left(x, y, \log \left( \tfrac{\cos (x)}{\cos (y)} \right) \right) \in \mathbb{R}^{3} \right| - \tfrac{\pi}{2} < x, y < + \tfrac{\pi}{2} \right\}.</math>
Более общие поверхности Шерка
Можно рассмотреть похожие задачи с минимальными поверхностями на других четырёхугольниках на евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу на четырёхугольниках на гиперболической плоскости. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма из комплексной плоскости в гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), опровергая тем самым Шаблон:Не переведено 5.
Вторая поверхность Шерка
Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Их пересечения с горизонтальными плоскостями состоит из чередующихся гипербол.
Поверхность задаётся уравнением:
- <math>\sin(z) - \mathrm{sh}\,(x) \mathrm{sh}\,(y)=0</math>
Поверхность имеет Параметризация Вейерштрасса — Эннепера <math>f(z) = \tfrac{4}{1-z^4}</math>, <math>g(z) = iz</math> и может быть параметризована какШаблон:Sfn:
- <math>x(r,\theta) = 2 \Re ( \ln(1+re^{i \theta}) - \ln(1-re^{i \theta}) ) = \ln \left( \tfrac{1+r^2+2r \cos \theta}{1+r^2-2r \cos \theta} \right)</math>
- <math>y(r,\theta) = \Re ( 4i \tan^{-1}(re^{i \theta})) = \ln \left( \tfrac{1+r^2-2r \sin\theta}{1+r^2+2r \sin \theta} \right)</math>
- <math>z(r,\theta) = \Re ( 2i(-\ln(1-r^2e^{2i \theta}) + \ln(1+r^2e^{2i \theta}) ) = 2 \tan^{-1}\left( \tfrac{2 r^2 \sin 2\theta}{r^4-1} \right)</math>
для <math>\theta \in [0, 2\pi)</math> и <math>r \in (0,1)</math>. Это даёт один период поверхности, который может быть распространён в z-направлении симметрией.
Поверхность обобщил Х. Кархер в семейство Шаблон:Не переведено 5 периодических минимальных поверхностей.
В литературе по ошибке эту поверхность называют пятой поверхностью ШеркаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Чтобы исключить путаницу, полезно упоминать поверхность как поверхность Шерка одного периода или как башню Шерка.
Примечания
Литература
Ссылки
- Шаблон:SpringerEOM
- Scherk's first surface in MSRI Geometry [1]
- Scherk's second surface in MSRI Geometry [2]
- Scherk's minimal surfaces in Mathworld [3] Шаблон:Wayback
Шаблон:Минимальные поверхности Шаблон:Rq
