Русская Википедия:Подобие
Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек <math>A</math>, <math>B</math> и их образов <math>A'</math>, <math>B'</math> имеет место соотношение <math>|A'B'|=k\cdot |AB|</math>, при некотором фиксированном <math>k \neq 0</math>, называемым коэффициентом подобия.
Понятие подобия определяется аналогично для метрических, для римановых пространств (см. раздел Обобщения).
История
Подобные фигуры рассматривались в Древней Греции в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и в VI книге «Начал» Евклида.
Частные случаи
- Гомотетией называется подобие, имеющее неподвижную точку и сохраняющее ориентацию.
- Движением называется преобразование подобия с коэффициентом <math>k=1</math>, то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.
Связанные определения
- Фигура <math>F</math> называется подобной фигуре <math>F '</math>, если существует преобразование подобия, при котором <math>F\mapsto F'</math>.
- Подобие фигур является отношением эквивалентности.
- Для обозначения подобия обычно используется значок <math>\sim</math> — <math>F\sim F'</math> означает, что фигуры <math>F</math> и <math>F '</math> подобны.
Метод подобия
Подобие фигур применяется к решению многих задач на построение.
Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой. Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.
Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку.[1]
Свойства
- Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
- Подобие является аффинным преобразованием плоскости.
- Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка <math>B</math> лежит между точками <math>A</math>, <math>C</math> и <math>B'</math>, <math>A'</math>, <math>C'</math> — соответствующие их образы при некотором подобии, то <math>B'</math> также лежит между точками <math>A'</math> и <math>C'</math>.
- Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
- Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
- Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
- Подобие с коэффициентом <math>k\not=1</math>, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом <math>k</math> или <math>-k</math>.
- Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения <math>D</math> и некоторой гомотетии <math>\Gamma</math> с положительным коэффициентом.
- Подобие называется собственным (несобственным), если движение <math>D</math> является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
- Два треугольника в евклидовой геометрии являются подобными, если
- их соответственные углы равны, или
- стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
- Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.
Обобщения
Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.
В метрических пространствах так же, как в <math>n</math>-мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.
Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет <math>r</math>-членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов <math>r</math>-членная группа подобных преобразований Ли содержит <math>(r-1)</math>-членную нормальную подгруппу движений.
См. также
- Гомеоморфизм
- Конгруэнтность (геометрия)
- Конформное отображение
- Масштаб (коэффициент подобия)
- Признаки подобия треугольников
- Пропорциональность
- Самоподобие
- Симметрия
Примечания
Ссылки
