Русская Википедия:Полилогарифм

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая <math>\operatorname{Li}_s(z)</math> и определяемая как бесконечный степенной ряд

<math>

\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}, </math> где s и z — комплексные числа, причём <math>|z|<1</math>. Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения.

Частным случаем является <math>s=1</math>, при котором <math>\operatorname{Li}_{1}(z)=-\ln(1-z)</math>. Функции <math>\operatorname{Li}_{2}(z)</math> и <math>\operatorname{Li}_{3}(z)</math> получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение

<math>\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t.</math>

Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна.

Частные значения

Файл:Polylogarithm plot negative.svg
<math>\operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2</math>
<math>\operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2</math>
<math>\operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3) \,</math> (где <math>\,\zeta(3) \,</math> — постоянная Апери)
<math>\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z)</math>
<math>\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}</math>
<math>\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}</math>
<math>\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}</math>
<math>\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}</math>
<math>\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,.

</math>

Литература

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Полилогарифм&oldid=10615700