Русская Википедия:Полиномы Белла
В математике, в частности в комбинаторике, полиномы Белла — это полиномы вида
- <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})=\sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}
\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},</math> где сумма берётся по всем последовательностям j1, j2, j3, ..., jn−k+1 неотрицательных целых чисел таким, что
- <math>j_1+j_2+\cdots = k</math> и <math>j_1+2j_2+3j_3+\cdots=n.</math>
Полиномы Белла названы так в честь математика Э. Белла.
Полные полиномы Белла
Сумма
- <math>B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math>
иногда называется n-м полным полиномом Белла. Для отличия от полных полиномов Белла, полиномы Bn, k, определённые выше, иногда называют «частичными» полиномами Белла.
Полные полиномы Белла удовлетворяют следующим условиям:
- <math>B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & {n-1 \choose 4} x_5 & \cdots & \cdots & x_n \\ \\
-1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & {n-2 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\ \\ 0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & {n-3 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\ \\ 0 & 0 & -1 & x_1 & {n-4 \choose 1} x_2 & \cdots & \cdots & x_{n-3} \\ \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-5} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1 \end{bmatrix}.</math>
Комбинаторная интерпретация
Если в разбиении числа n слагаемое 1 появляется j1 раз, 2 появляется j2 раза, и т.д., то количество разбиений множества мощности n, в котором мощности частей образуют это разбиение числа n, равно соответствующему коэффициенту полинома Белла.
Примеры
Для n = 6, k = 2 мы имеем
- <math>B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2</math>
потому что есть
- 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1,
- 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2,
- 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.
Аналогично,
- <math>B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3</math>
потому что есть
- 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1,
- 60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and
- 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.
Свойства
- <math>B_{n,k}(1!,2!,\dots,(n-k+1)!) = \binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1} (n-k)!</math>
Связь с числами Стирлинга и Белла
Значение полинома Белла Bn,k(x1, x2, …), где все xi равны 1 является числом Стирлинга второго рода:
- <math>B_{n,k}(1,1,\dots)=S(n,k)=\left\{{n\atop k}\right\}.</math>
Сумма
- <math>\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,1,\dots) = \sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}</math>
есть n-е число Белла (количество разбиений множества мощности n).
Тождество свертки
Для последовательности xn, yn, n = 1, 2, …, определёна свёртка:
- <math>(x \diamondsuit y)_n = \sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} x_j y_{n-j}.</math>
(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)
Положим, что <math>x_n^{k\diamondsuit}</math> есть n-й член последовательности
- <math>\displaystyle\underbrace{x\diamondsuit\cdots\diamondsuit x}_{k\ \mathrm{factors}}.</math>
Тогда
- <math>B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_{n}^{k\diamondsuit} \over k!}.</math>
Для примера вычислим <math> B_{4,3}(x_1,x_2) </math>. Так как
- <math> x = ( x_1,\ x_2, \ x_3, \ x_4, \ldots ),</math>
- <math> x \diamondsuit x = ( 0,\ 2 x_1^2 \ ,\ 6 x_1 x_2 \ , \ 8 x_1 x_3 + 6 x_2^2 \ , \ldots ),</math>
- <math> x \diamondsuit x \diamondsuit x = ( 0,\ 0, \ 6 x_1^3, \ 36 x_1^2 x_2, \ldots ),</math>
то
- <math> B_{4,3}(x_1,x_2) = \frac{ ( x \diamondsuit x \diamondsuit x)_4 }{3!} = 6 x_1^2 x_2. </math>
Применения
Формула Фаа-ди-Бруно
Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:
- <math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).</math>
Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если
- <math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad</math> и <math>\qquad g(x)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n,</math>
то
- <math>g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} x^n.</math>
В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда
- <math>\exp\left(\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n.</math>
Моменты и кумулянты
Сумма
- <math>B_n(\kappa_1,\dots,\kappa_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\dots,\kappa_{n-k+1})</math>
есть n-й момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны κ1, …, κn. Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах.
Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа
Для заданной последовательности чисел a1, a2, a3, … положим
- <math>p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.</math>
Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям
- <math>p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y)</math> для n ≥ 0.
- Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.
Eсли мы рассмотрим
- <math>h(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n</math>
как формальный степенной ряд, то для всех n,
- <math>h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x).</math>
Программное обеспечение
- Полиномы Белла, полные полиномы Белла и обобщённые полиномы Белла реализованы в Mathematica как BellY Шаблон:Wayback.
Источники
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
- Шаблон:Статья '
- Шаблон:Статья
- Kruchinin, V.V., 2011 , Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind Шаблон:Wayback(ArXiv)
- Конспект лекции Шаблон:Wayback по полиномам Белла, примеры
