Русская Википедия:Порядок величины
Шаблон:Нет ссылок Порядок величины — класс эквивалентности <math>\mathcal{C}_n</math> величин (или шкал) <math>\mathcal{C}_n=\lbrace{}x_n\rbrace</math>, выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение <math>r=\frac{x_n}{x_{n-1}}</math> к соответствующим величинам предыдущего класса.
Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности <math>\mathcal{C}_n</math> а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса <math>n</math> при условии, что некоторый класс <math>\mathcal{C}_0</math> был задан или подразумевается).
Порядок числа
При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию <math>b</math>, чаще всего принимают <math>r=b</math> и <math>1\in\mathcal{C}_1</math>, <math>b\in\mathcal{C}_2</math>. При этом <math>n</math> совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.
Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:
- <math>\mathcal{C}_1\supset\lbrace{}1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace</math>
- <math>\mathcal{C}_2\supset\lbrace{}10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\rbrace</math>
- <math>\mathcal{C}_3\supset\lbrace{}100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900\rbrace</math>
Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают
- порядки чисел по основанию <math>b=10</math>,
- порядки чисел по основанию <math>b=2</math>
- порядки чисел по основанию <math>b=e</math>.
Порядок чисел в естественном языке
В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в <math>10^n</math> раз больше, где <math>n</math> — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше». Также последнее время стало распространённым ошибочное использование выражения «порядка N», где N — некоторое число. При этом исходя из контекста понятно, что подразумевается «примерно N», что, конечно, не соответствует определению термина «порядок числа».
Порядок чисел и логарифмическая функция
Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам <math>\mathcal{C}_{n},\mathcal{C}_{n+1},\mathcal{C}_{n+2},\ldots,\mathcal{C}_{n+d}</math> могут быть записаны как <math>x, rx, r^2x,\ldots,r^dx</math>, где <math>x\in\mathcal{C}_{n}</math> — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.
В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то <math>\left|\log_r\frac{x_1}{x_2}\right| < 1</math>. Шаблон:Начало скрытого блока Действительно, пусть числа <math>m\in\mathcal{C}_n</math> и <math>M\in\mathcal{C}_n</math> являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку <math>\mathcal{C}_n</math>. Если число <math>x\in\mathcal{C}_n</math> так же принадлежит порядку <math>\mathcal{C}_n</math>, то его значение должно удовлетворять условию <math>m\leq x\leq M</math>. В то же время числа <math>rm</math> и <math>\frac{1}{r}M</math> принадлежат смежным с порядком <math>\mathcal{C}_n</math> порядкам <math>\mathcal{C}_{n+1}</math> и <math>\mathcal{C}_{n-1}</math> соответственно. Из этого следует, что для любого числа <math>x</math> в данном порядке выполняется соотношение <math>\frac{1}{r}M < m\leq x\leq M < rm</math>.
Пусть два числа <math>x_1</math> и <math>x_2</math> принадлежат данному порядку <math>\mathcal{C}_n</math>. Тогда <math>-1=\log_r\frac{m}{rm} < \log_r\frac{x_1}{x_2} < \log_r\frac{M}{\frac{1}{r}M}=1</math>. Шаблон:Конец скрытого блока
Разность порядков
Если два числа <math>x_1</math> и <math>x_2</math> принадлежат порядкам <math>x_1\in\mathcal{C}_{n_1}</math> и <math>x_2\in\mathcal{C}_{n_2}</math> в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение <math>d=d(x_1, x_2)=n_2-n_1</math> иногда называют разностью порядков этих чисел.
Для двух чисел <math>x_1</math> и <math>x_2</math> разность их порядков может быть найдена как <math>d = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor</math> при <math>x_2 \geq x_1</math>.
Шаблон:Начало скрытого блока Выберем число <math>x_2^\mathord{*}\in\mathcal{C}_{n_1}</math> принадлежащее порядку <math>\mathcal{C}_{n_1}</math> и соответствующее числу <math>x_2</math> из порядка <math>\mathcal{C}_{n_2}</math>. По определению порядка существует такое целое <math>d</math>, что <math>x_2^\mathord{*}=r^{-d}x_2</math>. Получаем, что <math>\log_r\frac{x_2}{x_1}=\log_r\frac{r^dx_2^\mathord{*}}{x_1} = d + \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1}</math>.
Числа <math>x_1</math> и <math>x_2^\mathord{*}</math> принадлежат одному порядку и потому <math>\log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1} < 1</math>. В то же время число <math>d</math> является целым, а значит <math>d=\left\lfloor{}d\right\rfloor = \left\lfloor{}d + \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1}\right\rfloor = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor</math>. Шаблон:Конец скрытого блока
В случае <math>x_2 \leq x_1</math> разность порядков иногда берут с отрицательным знаком <math>d(x_1, x_2) = -d(x_2, x_1)</math>.
Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.
Обобщение разности порядков
Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение <math>d = \log_r\frac{x_2}{x_1}</math>.
В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа <math>x_1</math> и <math>x_2</math> различаются не более чем на полпорядка», то есть <math>\left|\log_r\frac{x_2}{x_1}\right|\leq \frac{1}{2}</math> или <math>\frac{1}{\sqrt{r}}x_1\leq x_2\leq \sqrt{r}x_1</math>.
См. также
Ссылки
