Русская Википедия:Правильный 65537-угольник
| Правильный 65537-угольник | |
|---|---|
| Файл:65537-gon.svg
Правильный 65537-угольник визуально неотличим от окружности (при разрешении в 1000 пикселей отличие от окружности будет меньше одной миллионной пикселя). |
Правильный 65537-угольник Шаблон:Переносить строку — правильный многоугольник с Шаблон:Число и Шаблон:Число. Из-за того, что центральный угол мал, в графическом представлении правильный 65537-угольник почти не отличается от окружности (см. иллюстрацию).
Правильный 65537-угольник представляет интерес, поскольку Шаблон:Число является простым числом Ферма, что делает возможным построение данного многоугольника с помощью циркуля и линейки. Эта задача была решена Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.
Построение
Отличительная особенность правильного 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.
Число Шаблон:Число — это самое большое известное простое число Ферма:
- <math>65~537 = 2^{2^4}+1</math>.
Гаусс в 1796 году доказал, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители числа n являются различными числами Ферма. В 1836 году П. Ванцель доказал необходимость этого условия для построения таких многоугольников. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.
В 1894 году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более Шаблон:Число[1] (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).
| « |
Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с Шаблон:Число сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением[2]. | » |
| — Анонимус | ||
Пропорции
Углы
Центральный угол равен <math>\frac{360^\circ}{65~537} \approx 0{,}0054930802447472424^\circ \approx 0^\circ0'19{,}77508888</math>.
Внутренний угол равен <math>\frac{65~537 - 2}{65~537} \cdot 180^\circ \approx 179{,}99450691975525^\circ = 180^\circ - 0{,}054930802447472424^\circ</math>.
Наглядное представление
Для иллюстрации пропорций практически непредставимой фигуры могут служить следующие соображения:
- Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.
Шаблон:Hider{\sin\left(\frac{360^\circ}{65~537}\right)} \approx 10430{,}541475816439~\text{cm} \approx 104{,}30541475816439~\text{m}</math>
|frame-style = |title-style = |content-style = |footer = |footer-style = |hidden = 1
}}
- Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его наибольшая диагональ будет больше 200 м.
- Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то разница между радиусами его вписанной и описанной окружностей, каждый из которых будет около 10 км, составит всего лишь около 0,024 мм.
- Если нарисовать 65537-угольник диаметром Шаблон:Число, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.
Примечания
Ссылки
Шаблон:Многоугольники Шаблон:Символ Шлефли
