Русская Википедия:Предаддитивная категория

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов <math>A</math>, <math>B</math> множество <math>\text{Hom}(A,B)</math> имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

<math>(g_1 + g_2)\circ f = g_1 \circ f + g_2 \circ f</math>

<math>g \circ (f_1+ f_2) = g \circ f_1 + g \circ f_2</math>

Предаддитивную категорию иногда называют также <math>Ab</math>-категорией.

Примеры

• Категория абелевых групп <math>\mathbf{Ab}</math>.
• Категории левых R-модулей <math>R\mbox{-}\mathbf{Mod}</math> и правых R-модулей <math>\mathbf{Mod}\mbox{-}R</math>.

Аддитивные функторы

Функтор <math>T\colon A \to B</math> называется аддитивным, если каждое отображение <math>T\colon \text{Hom}_A(a_1,a_2) \to \text{Hom}_B(Ta_1,Ta_2)</math> является гомоморфизмом абелевых групп.

Если <math>\mathcal C</math> и <math>\mathcal D</math> — категории, причём <math>\mathcal D</math> предаддитивна, то категория функторов <math>Funct(\mathcal C, \mathcal D)</math> также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если <math>\mathcal C</math> тоже предаддитивна, то категория <math>Add(\mathcal C, \mathcal D)</math> аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если <math>\mathcal C</math> предаддитивна, то категория <math>Mod(\mathcal C) := Add(\mathcal C, \mathbf{Ab})</math> называется категорией модулей над <math>\mathcal C</math>. Если <math>\mathcal C</math> — предаддитивная категория из одного объекта — кольца <math>R</math>, это приводит к обычному определению (левых) <math>R</math>-модулей.

<math>Ab\mbox{-}\mathbf{Cat}</math> — категория всех малых <math>Ab</math>-категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаи

• Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
• Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
• Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.

Литература

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.