Русская Википедия:Предел (теория категорий)
Шаблон:Значения Преде́л в теории категорий — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, кодекартов квадрат и прямой предел.
Пределы и копределы, как и тесно связанные с ними понятия универсального свойства и сопряжённых функторов являются понятиями высокого уровня абстракции. Чтобы лучше их понять, полезно сначала изучить примеры конструкций, которые эти понятия обобщают.
Определение
Пределы и копределы определяются при помощи диаграмм. Диаграмма типа Шаблон:Math в категории Шаблон:Math — это функтор:
Категория Шаблон:Math является индексирующей категорией и функтор Шаблон:Math играет роль разметки объектов и морфизмов категории Шаблон:Math в терминах категории Шаблон:Math. Наибольший интерес представляет случай, когда Шаблон:Math — малая или конечная категория. В этом случае диаграмма Шаблон:Math называется малой или конечной.
Пусть Шаблон:Math — диаграмма типа Шаблон:Math в категории Шаблон:Math.Шаблон:Iw над Шаблон:Math — это такой объект Шаблон:Math в Шаблон:Math вместе с семейством морфизмов Шаблон:Math, индексированных объектами Шаблон:Math из категории Шаблон:Math, такой что для любого морфизма Шаблон:Math верно, что Шаблон:Math.
Предел диаграммы Шаблон:Math — это конус Шаблон:Math над Шаблон:Math такой, что для любого конуса Шаблон:Math над Шаблон:Math существует единственный морфизм Шаблон:Math, такой что Шаблон:Math для всех Шаблон:Math в Шаблон:Math.Шаблон:Sfn
Аналогичным образом определяется понятие копредела — нужно обратить все стрелки. А именно:
Коконус диаграммы Шаблон:Math — это объект Шаблон:Math категории Шаблон:Math вместе с семейством морфизмов:
для каждого Шаблон:Math в Шаблон:Math, такой, что для любого морфизма Шаблон:Math верно Шаблон:Math.
Копредел диаграммы Шаблон:Math — это коконус Шаблон:Math такой, что для любого другого коконуса Шаблон:Math существует единственный морфизм Шаблон:Math, такой, что Шаблон:Math для всех Шаблон:Math в Шаблон:Math.
Как и любые универсальные объекты, пределы и копределы не всегда существуют, но если существуют, то определены с точностью до изоморфизма.
Примеры пределов
Определение категорного предела достаточно широкое, чтобы обобщить иные часто используемые категорные конструкции. В примерах рассматривается предел Шаблон:Math диаграммы Шаблон:Math.
- Терминальные объекты. Если Шаблон:Math — пустая категория, в Шаблон:Math существует только одна диаграмма типа Шаблон:Math — пустая. Конус над пустой диаграммой это просто любой объект категории Шаблон:Math. Предел над Шаблон:Math — это любой такой объект, в который существует единственный морфизм из любого объекта, то есть терминальный объект.
- Произведения. Здесь Шаблон:Math — дискретная категория (без нетождественных морфизмов), а диаграмма определенная функтором Шаблон:Math — семейство объектов Шаблон:Math проиндексированных Шаблон:Math и предел — это их произведение вместе с проекциями на сомножители, проекции образуют семейство морфизмов из определения конуса.
- Уравнитель. Здесь Шаблон:Math — категория из двух объектов и двух параллельных морфизмов, тогда Шаблон:Math — два параллельных морфизма и предел — это их уравнитель.
- Ядро — это частный случай уравнителя, где один из морфизмов нулевой.
- Декартов квадрат. Здесь Шаблон:Math состоит из трёх объектов и морфизмов из первого и второго объекта в третий.
- Если Шаблон:Math — категория из одного элемента и тождественного морфизма, то предел — это тот элемент, в который отобразилась Шаблон:Math.
- Топологические пределы. Пределы функций — частный случай пределов фильтров, которые связаны с категорными пределами следующим образом. В данном топологическом пространстве Шаблон:Math рассмотрим Шаблон:Math — множество фильтров на Шаблон:Math, точку Шаблон:Math — фильтр окрестностей Шаблон:Math — некоторый конкретный фильтр и <math>F_{x,A}=\{G\in F \mid V(x)\cup A \subset G\} </math> — множество фильтров тоньше Шаблон:Math и сходящихся к Шаблон:Math. На фильтрах Шаблон:Math можно задать структуру категории, сказав, что стрелка Шаблон:Math существует тогда и только тогда, когда Шаблон:Math. Вложение <math>I_{x,A}:F_{x,A}\to F</math> становится функтором и выполняется следующее утверждение:
- Шаблон:Math — топологический предел Шаблон:Math тогда и только тогда, когда Шаблон:Math — категорный предел <math>I_{x,A}</math>.[1]
Свойства
Существование
Говорят, что категория имеет пределы типа Шаблон:Math, если любая диаграмма типа Шаблон:Math имеет предел.
Категория называется полной, если она имеет предел для любой малой диаграммы (то есть диаграммы, элементы которой образуют множество). Аналогично определяются конечно полные и кополные категории.
Универсальное свойство
Рассмотрим категорию Шаблон:Math с диаграммой Шаблон:Math. Категорию функторов Шаблон:Math можно считать категорией диаграмм типа Шаблон:Math в Шаблон:Math. Диагональный функтор <math>\Delta : \mathcal C \to \mathcal C^{\mathcal J}</math> — это функтор, отображающий элемент Шаблон:Math категории Шаблон:Math в постоянный функтор Шаблон:Math, отображающий всё в Шаблон:Math.
Для данной диаграммы Шаблон:Math (понимаемой как объект Шаблон:Math), естественное преобразование Шаблон:Math (понимаемое как морфизм категории Шаблон:Math) — то же самое, что конус из Шаблон:Math в Шаблон:Math. Компоненты Шаблон:Math — морфизмы Шаблон:Math. Определения предела и копредела можно переписать какШаблон:Sfn:
- Предел Шаблон:Math — универсальная стрелка из Шаблон:Math в Шаблон:Math.
- Копредел Шаблон:Math — универсальная стрелка из Шаблон:Math в Шаблон:Math.
Функторы и пределы
Функтор Шаблон:Math индуцирует отображение из Шаблон:Math в Шаблон:Math. Шаблон:Math сохраняет пределы в Шаблон:Math, если Шаблон:Math — предел Шаблон:Math, когда Шаблон:Math — предел Шаблон:MathШаблон:Sfn. Функтор Шаблон:Math сохраняет все пределы типа Шаблон:Math, если он сохраняет пределы всех диаграмм Шаблон:Math. Например, можно говорить, что Шаблон:Math сохраняет произведения, уравнители и т. д. Непрерывный функтор — это функтор, сохраняющий все малые пределы. Аналогичные определения вводятся для копределов.
Важное свойство сопряжённых функторов — то, что каждый правый сопряженный функтор непрерывен и каждый левый сопряженный функтор конепрерывенШаблон:Sfn.
Функтор Шаблон:Math поднимает пределы для диаграммы Шаблон:Math если из того, что Шаблон:Math — предел Шаблон:Math следует, что существует предел Шаблон:Math в Шаблон:Math, такой что Шаблон:MathШаблон:Sfn. Функтор Шаблон:Math поднимает пределы типа Шаблон:Math, если он поднимает пределы для всех диаграмм типа Шаблон:Math. Существуют двойственные определения для копределов.
Примечания
Литература
- Книга:Категории для работающего математика
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free online edition).
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}