Русская Википедия:Представление Гейзенберга
Шаблон:Квантовая механика Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.
Описание представления Гейзенберга
Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор <math>\hat A </math>, а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства <math> |\Psi\rangle </math>. В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением: Шаблон:Equation box 1 где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.
Связь между операторами в представлении Шрёдингера и Гейзенберга
Пусть <math>\hat A(t) </math> - оператор в представлении Шрёдингера, а <math>\hat A_H(t) </math> - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием: Шаблон:Equation box 1 где <math> \hat S(t,t_0) </math> - оператор эволюции:
- <math> \hat S(t,t_0)=T\left\{ \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t')\, dt'}\right) \right\}, t > t_0 </math>
- <math> \hat S(t,t_0)=\overline{T}\left\{ \exp\left({\frac{i}{\hbar} \int_t^{t_0} H(t')\, dt'}\right) \right\}, t < t_0 </math>
где <math>T,\overline{T}</math> - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то
- <math> \hat S(t,t_0)=\exp\left({-\frac{i}{\hbar}\hat H(t-t_0)}\right), </math>
и унитарное преобразование принимает вид:
- <math> \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}. </math>
Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга
Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:
- <math> \hat H(t) \left| \Psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial \over \partial t} \left| \Psi (t) \right\rangle,</math>
где <math>\hat H(t)</math> - оператор Гамильтона.
Введем оператор эволюции <math>\hat S(t,t_0)</math>, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:
- <math> \hat S(t,t_0) \left| \Psi(t_0) \right\rangle =\left| \Psi(t) \right\rangle. \qquad(2)</math>
Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:
- <math>
i\hbar {\partial \over \partial t} \hat S(t,t_0) = \hat H(t) \hat S(t,t_0), \qquad(3) </math>
- <math>
\hat S(t_0,t_0)=\hat I, </math> где <math>\hat I</math> - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:
- <math> \hat S(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}. </math>
Теперь рассмотрим среднее значение оператора <math> \hat A </math> некоторой наблюдаемой величины:
- <math> \langle \hat A(t) \rangle=\langle \Psi(t)| \hat A(t) | \Psi(t) \rangle=\langle \Psi(t_0)|\hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0) | \Psi(t_0) \rangle = \langle \Psi(t_0)| \hat A_H(t) | \Psi(t_0) \rangle. </math>
Таким образом, оператор <math> \hat A </math> в представлении Гейзенберга определяется формулой:
- <math> \hat A_H(t) = \hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0).\qquad(4) </math>
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то
- <math> \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}. </math>
Продифференцируем формулу <math>(4) </math> по времени и используем уравнение <math>(3) </math>, тогда получим уравнение движения операторa <math>\hat A(t)</math> в Гейзенберговском представлении:
- <math>{d \over dt} \hat A_H(t)= {i \over \hbar }[\hat H(t),\hat A_H(t)] + {\partial \over \partial t}\hat A_H(t),\qquad(5)</math>
где частная производная обозначает явную зависимость оператора <math>\hat A(t)</math> от времени.
Пример. Квантовый гармонический осциллятор.
Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:
- <math> \hat H= \hbar\omega(\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2).</math>
Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение <math>(5)</math> перепишется в виде
- <math> i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= - \hbar\omega [\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2,\hat a_H(t)], </math>
- <math> i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= \hbar\omega\hat a_H(t), </math>
- <math> \hat a_H(t)=\hat a e^{-i\omega(t-t_0)}, </math>
- <math> \hat a^{\dagger}_H(t)=\hat a^{\dagger} e^{i\omega(t-t_0)}, </math>
где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения <math>[\hat a,\hat a^{\dagger}]_{\mp}=1.</math>
Применение
Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.
См. также
- Квантовая механика
- Представление Шрёдингера
- Представление взаимодействия
- Уравнение Шрёдингера
- Волновая функция
- Оператор (физика)
Литература
- Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга // Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — С. 55-56.
- Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
- Параграф 10. Представление Гейзенберга. Глава VIII // Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — С. 306-307.
- Параграф 3.4. Гейзенберговская картина // Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — С. 154-155.
- Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2008. — 274 c. — ISBN 978-5-94356-642-4
Ссылки
