Русская Википедия:Приведённая масса
Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения[1].
Обычно приведенная масса <math>\mu</math> определяется из равенства <math> T = \mu v^2 \,/2 </math>, где <math> T</math> — кинетическая энергия системы, а <math> v</math> — скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции <math>\mu_{ij}</math> в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется <math> n</math> обобщёнными координатами <math> r_i </math>:
- <math> 2T = \sum^n_{i, \, j = 1} \mu_{ij}\, \dot{r_i} \dot{r_j} \, , </math>
где точка означает дифференцирование по времени, а <math>\mu_{ij} \ </math> есть функции обобщённых координат.
Задача двух тел
В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой <math>m_{1} \ </math> и другое с массой <math> m_{2} \ </math>. В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной
- <math>\mu = {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\ ,</math>
где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.
Приведённая масса всегда меньше каждой из масс <math> m_1 \ </math> или <math> m_2 \ </math> или равна нулю, если одна из масс равна нулю. Пусть масса <math> m_2 \ </math> значительно меньше массы <math> m_1 </math> (<math> m_2 \ll m_1 </math>), тогда приближённое выражение для приведенной массы будет
- <math> \mu =\frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 (1- \frac{m_2}{m_1})\approx m_\mathrm 2\ .</math>
Механика Ньютона
Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой
- <math> \mathbf{F}_{12} = m_1 \mathbf{a}_1.</math>
Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы
- <math> \mathbf{F}_{21} = m_2 \mathbf{a}_2.</math>
В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:
- <math> \mathbf{F}_{12} = - \mathbf{F}_{21}.</math>
Таким образом, имеем
- <math> m_1 \mathbf{a}_1 = - m_2 \mathbf{a}_2</math>
или
- <math> \mathbf{a}_2=-{m_1 \over m_2} \mathbf{a}_1.</math>
Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением
- <math> \mathbf{a} = \mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2 = \left({1+{m_1 \over m_2}}\right) \mathbf{a}_1 = {{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}} m_1 \mathbf{a}_1 = {\mathbf{F}_{12} \over \mu}. </math>
Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе <math> \mu</math>.
Механика Лагранжа
Задачу двух тел также можно описывать в лагранжевом подходе. Функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий. В данной задаче это
- <math>L = {1 \over 2} m_1 \mathbf{\dot{r}}_1^2 + {1 \over 2} m_2 \mathbf{\dot{r}}_2^2 - V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | )</math>
где <math>\mathbf{r}_i</math> — радиус-вектор i-ой частицы с массой <math> m_i</math>. Потенциальная энергия зависит от расстояния между частицами. Определим вектор
- <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 </math>,
и пусть центр масс задаёт систему отсчёта
- <math> m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 = 0 </math>.
Тогда вектора положений масс <math> m_i</math> переопределяются как
- <math> \mathbf{r}_1 = \frac{m_2 \mathbf{r}}{m_1 + m_2} ,\,\, \mathbf{r}_2 = \frac{-m_1 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}.</math>
Тогда новую функцию Лагранжа можно переписать в виде
- <math> L = {1 \over 2}\mu \mathbf{\dot{r}}^2 - V(r), </math>
откуда видно, что задача двух тел редуцировалась в задачу движения одного тела.
Применение
Приведенная масса может иметь отношение к более общим алгебраическим выражениям, которые задают взаимосвязь элементов системы и имеют вид
- <math>\ {1\over x_\text{eq}} = \sum_{i=1}^n {1\over x_i} = {1\over x_1} + {1\over x_2} + \cdots+ {1\over x_n}\ ,</math>
где <math> x_i \ </math> — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи), <math> x_{eq} \ </math> — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики.
Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку[2].
Примечания
Ссылки
См. также
