Русская Википедия:Принцип д’Аламбера — Лагранжа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Принцип д’Аламбера — Лагранжа — один из основных принципов механики, согласно которому, если к заданным (активным) силам, действующим на точки механической системы присоединить силы инерции, то при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ активных сил и элементарных работ сил инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении системы равна нулю.

Принцип д’Аламбера-Лагранжа является объединением принципа возможных перемещений статики и принципа д’Аламбера динамики. Его использование позволяет изучать движения механических систем с идеальными связями, не вводя в уравнения движения неизвестные реакции связей.

Вывод

Пусть механическая система с голономными, удерживающими, идеальными связями представлена материальными точками с массами <math>m_{1}, m_{2}, ... , m_{N}</math>. Пусть к каждой материальной точке <math>m_{i}</math> приложены активные силы с равнодействующей <math>\vec{F_{i}}</math> и пассивные силы с равнодействующей <math>\vec{N_{i}}</math>. Согласно второму закону Ньютона:

<math>m_{i} \vec{w_{i}} = \vec{F_{i}} + \vec{N_{i}}</math>

или

<math>\vec{F_{i}} - m_{i} \vec{w_{i}} + \vec{N_{i}} = 0</math> (1)

Зафиксируем теперь некоторый момент времени и сообщим механической системе виртуальное (возможное) перемещение <math>\delta \vec{r_{1}}, \delta \vec{r_{2}}, ..., \delta \vec{r_{N}}</math>. Умножим скалярно каждое уравнение (1) на соответствующее <math>\delta \vec{r_{i}}</math> и суммируем все уравнения:

<math>\sum_{i=1}^{N} (\vec{F_{i}} - m_{i} \vec{w_{i}}) \delta \vec{r_{i}} + \sum_{i=1}^{N} \vec{N_{i}} \delta \vec{r_{i}} = 0</math>

Сумма работ идеальных связей на любом виртуальном перемещении равна нулю, поэтому:

<math>\sum_{i=1}^{N} (\vec{F_{i}} - m_{i} \vec{w_{i}}) \delta \vec{r_{i}} = 0</math>

Это равенство называется общим уравнением механики.

Во всякой механической системе с идеальными удерживающими связями в каждый момент времени движения на любом виртуальном перемещении сумма механических работ, производимых активными силами и силами инерции, всегда равна нулю.

См. также

• Второй закон Ньютона
• Принцип Д’Аламбера
• Общее уравнение динамики