Русская Википедия:Проективный объект

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Проективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия проективного модуля.

Проективные объекты в абелевых категориях широко используются в гомологической алгебре. Двойственными объектами к проективным являются инъективные объекты.

Определение

Объект <math>P</math> в категории <math>\mathcal{C}</math> называется проективным если для произвольного эпиморфизма <math>e \colon E\twoheadrightarrow X</math> и морфизма <math>f \colon P\to X</math> существует морфизм <math>\overline{f}:P\to E</math> для которого <math>e\circ \overline{f}=f</math>, то есть диаграмма:

Файл:Projective object.svg

коммутативна.

Свойства

• В локально малой категории <math>\mathcal{C}</math>, объект <math>P</math> является проективным только если функтор

  <math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math>

сохраняет эпиморфизмы.

• Пусть <math>\mathcal{C}</math> — локально малая абелева категория. В этом случае объект <math>P\in\mathcal{C}</math> является проективным объектом если

  <math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Ab}</math>

является точным функтором, где <math>\mathbf{Ab}</math> является категорией абелевых групп.

• Копроизведение двух проективных объектов является проективным объектом.
• Ретракт проективного объекта является проективным.

Примеры

• Утверждение о том, что все множества является проективными объектами эквивалентен аксиоме выбора.

• Проективными объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы.

• Пусть <math>R</math> — кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию <math>\mathcal{M}_R</math> левых <math>R</math>-модулей. Проективными объектами в <math>\mathcal{M}_R</math> являются проективные левые R-модули. В частности <math>R</math> является проективным объектом в <math>\mathcal{M}_R.</math>