Пусть <math>X</math> — произвольное множество. Семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов (конечное или бесконечное), называется разбиением <math>X</math>, если:
<math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</math> для любых <math>\alpha, \beta \in A</math>, таких что <math>\alpha \not= \beta</math>;
При этом множества <math>\ U_{\alpha}</math> называются блоками или частями разбиения данного множества <math>X</math>.
Разбиения конечных множеств
Разбиения конечных множеств, а также подсчёт количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.
Например, число Стирлинга второго рода <math>S(n,m)</math> представляет собой количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей, в то время как мультиномиальный коэффициент <math>\textstyle\binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m}</math> выражает количество упорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей фиксированного размера <math>k_1, k_2, \dots, k_m</math>. Количество всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества задаётся числом Белла <math>B_n</math>.
Примеры
<math>\mathbb{Z} = (2\mathbb{Z}) \cup (2\mathbb{Z}+1)</math>, где <math>\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}+1</math> — множества всех целых чисел, чётных целых чисел и нечётных целых чисел соответственно;
Множество всех вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> может быть представлено в виде: <math>\mathbb{R} = \cup_{n\in \mathbb{Z}} [n,n+1)</math>;
Множество из трёх элементов <math>\{a,b,c\}</math> может быть разбито пятью способами: <math>\{\{a,b,c\}\}</math>, <math>\{\{a\},\{b,c\}\}</math>, <math>\{\{b\},\{a,c\}\}</math>, <math>\{\{c\},\{a,b\}\}</math>, <math>\{\{a\},\{b\},\{c\}\}</math> — значит, число Белла <math>B(3)=5</math>.
