Русская Википедия:Рационализируемость
Шаблон:Концепция решения Рационализируемость[1] (Шаблон:Lang-en) — концепция решения в теории игр. Концепция задумана как набор минимальных ограничений, при которых игроки остаются рациональными и имеет место общее знание о рациональности каждого из участников. Иными словами, имеют место рациональность и общая вера в рациональность. В частности, концепция менее требовательна, чем равновесие Нэша, и совокупность равновесий в игре является подмножеством множества рационализируемых решений. Обе концепции требуют от игроков рационального (оптимального для них) ответа в рамках определённой веры относительно поведения соперников, однако концепция Нэша требует, чтобы веры были обоснованы, концепция рационализируемости — нет. Концепция возникла в 1984 году в работах Дугласа Бернхейма и Дэвида Пирса,
Определение
Пусть имеется игра <math>(I, (S_i, u_i)_{i \in I})</math>, где <math>I</math> соответствует множеству игроков, <math>S_i</math> — множеству стратегий игрока i, <math>u_i</math> — полезности игрока i. Пусть <math>S_i^0 = S_i \forall i</math>, то есть для каждого из игроков определено множество стратегий нулевой «итерации»[2]. Индуктивно определяются множества стратегий следующих «итераций», <math>S_i^{m+1} \forall m \geq 0</math>, куда включены стратегии, являющиеся лучшими ответами на предположения <math>\sigma_{-i} \in \Delta(S_{-i}^m)</math>, где обозначение «-i» соответствует объектам, относящимся ко всем игрокам за исключением i-го. Множество
- <math>S_i^{\infty} = \cap_{m \geq 0} S_i^m</math>
является множеством рационализируемых [3] стратегий игрока i.
Неформально идею концепции можно изложить следующим образом. На «нулевом» шаге — шаги проделываются мысленно и априори, поскольку ходы делаются одновременно — определяется исходное множество стратегий, совпадающее с множеством всех доступных игроку стратегий. Затем из исходного множества удаляются все те стратегии, которые не являются оптимальными ни при какой вере о действиях оппонентов. Именно здесь прослеживается понятие о рациональности игрока: будучи рациональным, он никогда не использовал бы стратегию, выигрыш от которой не был бы максимальным. Затем происходит итеративное удаление стратегий, которые субоптимальны (также при любой вере) уже в новых условиях — в отсутствие действий, удалённых их исходного множества на предыдущем шаге. На этом месте проявляется общее знание о рациональности каждого из участников: они никогда не изберут субоптимальную стратегию, поэтому рассматривать их в дальнейшем не имеет смысла. Процедура продолжается до тех пор, пока набор стратегий не стабилизируется, то есть новые итерации не приведут к удалению каких-либо действий. Если множества стратегий конечны, процедура в какой-то момент останавливается, позволяя получить непустое множество стратегий для каждого игрока. Они и называется рационализируемыми.
Рационализируемость и строгое доминирование
Рационализируемость связана с понятием строго доминирования. Стратегия называется строго доминируемой, если существует смешанная стратегия <math>\sigma_i \in \Delta(S_i)</math> такая, что
- <math>u_i(\sigma_i, s_{-i}) > u_i(s_i, s_{-i}) \qquad \forall s_{-i} \in S_{-i}</math>
Известно, что при компактности множеств стратегий и непрерывности функций выигрыша стратегия строго доминируема, если не является лучшим ответом на какую бы то ни было веру о поведении оппонента[4][5][6]. Следовательно, множество рационализируемых стратегий является ещё и продуктом итеративного исключения строго доминируемых стратегий.
Примечания
Литература
- Bernheim, D. (1984) Rationalizable Strategic Behavior. Econometrica 52: 1007-1028.
- Dekel, E., Siniscalchi M. (2014) Epistemic game theory.
- Fudenberg, Drew and Jean Tirole (1993) Game Theory. Cambridge: MIT Press.
- Pearce, D. (1984) Rationalizable Strategic Behavior and the Problem of Perfection. Econometrica 52: 1029-1050.
- Ratcliff, J. (1992–1997) lecture notes on game theory, §2.2: "Iterated Dominance and Rationalizability"
- ↑ Реже — «рационализуемость».
- ↑ Данное обозначение условно, поскольку игра дана в нормальной форме, и все игроки ходят одновременно
- ↑ Также употребляется характеристика «коррелированно рационализируемых» (Шаблон:Lang-en).
- ↑ D.G. Pearce. Rationalizable strategic behavior and the problem of perfection. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 52(4):1029{1050, 1984. ISSN 0012-9682.
- ↑ D. Gale and S. Sherman. Solutions of finite two-person games. In H. Kuhn and A. Tucker, editors, Contributions to the theory of games. Princeton University Press, 1950.
- ↑ Eric Van Damme. Refinements of the Nash equilibrium concept. Springer-Verlag, 1983.
