Русская Википедия:Ряд Фурье

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Synthesis square.gif

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (Шаблон:Iw).

Ряд Фурье́ — представление функции <math>f</math> с периодом <math>\tau</math> в виде ряда

<math> f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(k\frac{2\pi}{\tau}x+\theta_k\right)</math>

Этот ряд может быть также записан в виде

<math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ik \frac{2\pi}{\tau}x},</math>

где

<math>A_k</math> — амплитуда <math>k</math>-го гармонического колебания,

<math> k\frac{2\pi}{\tau} = k\omega</math> — круговая частота гармонического колебания,

<math>\theta_k</math> — начальная фаза <math>k</math>-го колебания,

<math>\hat{f}_k</math> — <math>k</math>-я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

История

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле и Бернхард Риман выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики, теории перекрытия-оболочки и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции <math>f\in {\mathcal L}([-\pi,\pi])</math> (то есть функции, суммируемой на промежутке <math>([-\pi,\pi])</math>, или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

<math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),</math> (1)

где

<math>a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,</math>

<math>a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,</math>

<math>b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,</math>

Числа <math>a_0</math>, <math>a_n</math> и <math>b_n</math> (<math>n = 1, 2, \ldots</math>) называются коэффициентами Фурье функции <math>f</math>. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию <math>f\in\mathcal{L}([-\pi,\pi])</math> в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты <math>a_0</math>, <math>a_n</math> и <math>b_n</math>. Если умножить правую часть (1) на <math>\cos(kx)</math> и проинтегрировать по промежутку <math>[-\pi,\pi]</math>, то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент <math>a_k</math>. Аналогично для <math>b_k</math>.

Ряд (1) для функции <math>f</math> из пространства <math>\mathcal{L}_2([-\pi,\pi])</math> сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через <math>S_k(x)</math> частичные суммы ряда (1):

<math>S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>,

то их среднеквадратичное отклонение от функции <math>f</math> будет стремиться к нулю:

<math>\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0</math>.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство <math>\mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> комплекснозначных функций со скалярным произведением

<math>\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>.

Мы также рассматриваем систему функций

<math>\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}</math>.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция <math>f\in \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> может быть разложена по ним в ряд Фурье:

<math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}</math>,

где ряд в правой части сходится к <math>f</math> по норме в <math>L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math>. Здесь

<math>\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx</math>.

Коэффициенты <math>\hat{f}_k</math> связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

<math>\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0</math>

<math>\hat{f}_0 = a_0/2</math>

<math>\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0</math>

<math>a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0</math>

<math>b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0</math>

Для вещественнозначной функции коэффициенты <math>\hat{f}_k</math> и <math>\hat{f}_{-k}</math> комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства <math>L^2[-\pi,\pi]</math> с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система <math>\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}</math> в гильбертовом пространстве <math>H</math> и <math>f</math> — произвольный элемент из <math>H</math>. Предположим, что мы хотим представить <math>f</math> в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов <math>\{\varphi_k\}</math>:

<math>f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n.</math>

Домножим это выражение на <math>\varphi_k</math>. С учётом ортогональности системы функций <math>\{\varphi_k\}</math> все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при <math>n=k</math>:

<math> (f, \varphi_k) = c_k\|\varphi_k\|^2. </math>

Числа

<math>c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}</math>

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента <math>f</math> по системе <math>\{\varphi_k\}</math>, а ряд

<math>\sum_k c_k \varphi_k</math>

называется рядом Фурье элемента <math>f</math> по ортогональной системе <math>\{\varphi_k\}</math>.

Ряд Фурье любого элемента <math>f</math> по любой ортогональной системе сходится в пространстве <math>H</math>, но его сумма не обязательно равна <math>f</math>. Для ортонормированной системы <math>{\varphi_k}</math> в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в <math>H</math> не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого <math>f\in H</math> выполнено равенство Парсеваля

<math>\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2 = \|f\|^2</math>.

• линейные комбинации элементов <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> плотны в пространстве <math>H</math>.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента <math>f</math> равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math>. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

<math>\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \leqslant \|f\|^2.</math>

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Файл:Periodic identity function.gif

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через <math>S_N(f,x)</math> частичные суммы ряда Фурье функции <math>f(x)</math>:

<math>S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}</math>.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций <math>S_N(f,x)</math> к функции <math>f(x)</math> в различных смыслах. Функция <math>f</math> предполагается <math>2\pi</math>-периодической (если она задана только на промежутке <math>[-\pi,\pi]</math>, её можно периодически продолжить).

• Если <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math>, то последовательность <math>S_N(f,x)</math> сходится к функции <math>f(x)</math> в смысле <math>L_2</math>. Кроме того, <math>S_N(f,x)</math> являются наилучшим (в смысле расстояния в <math>L_2</math>) приближением функции <math>f</math> тригонометрическим многочленом степени не выше <math>N</math>.
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке <math>x_0</math> — локальное свойство, то есть, если функции <math>f</math> и <math>g</math> совпадают в некоторой окрестности <math>x_0</math>, то последовательности <math>S_N(f,x_0)</math> и <math>S_N(g,x_0)</math> либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
• Если функция <math>f</math> дифференцируема в точке <math>x_0</math>, то её ряд Фурье в этой точке сходится к <math>f(x_0)</math>. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции <math>f</math> задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке <math>x_0</math>, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к <math>f(x_0)</math>. Это следует из того, что для непрерывной в <math>x_0</math> функции <math>f</math> последовательность <math>S_N(f,x_0)</math> сходится по Чезаро к <math>f(x_0)</math>.
• Если функция <math>f</math> разрывна в точке <math>x_0</math>, но имеет пределы в этой точке справа и слева <math>f(x_0+0)\neq f(x_0-0),</math> то при некоторых дополнительных условиях <math>S_N(f,x_0)</math> сходятся к <math>(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2</math>. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math>, то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если <math>f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1</math>. Однако, существуют функции из <math>L_1([-\pi,\pi])</math>, ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым).
• Зафиксируем точку <math>x_0\in(-\pi,\pi)</math>. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве <math>C([-\pi,\pi])</math>. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса <math>C^{(k)}</math>, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (Шаблон:Нп5).
• Если функция <math>f</math> принадлежит классу <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math>, то есть дифференцируема <math>k</math> раз и её <math>k</math>-я производная непрерывна, то <math>\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)</math>
• Если ряд <math>\sum n^{\alpha}\hat{f}_n</math> сходится абсолютно, то <math>f</math> совпадает почти всюду с функцией класса <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math> при всех <math>k<\alpha</math>.
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем <math>\alpha>1/2</math>, то ряд <math>\sum \hat{f}_n</math> сходится абсолютно (теорема Бернштейна).Шаблон:Нет АИ

См. также

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Тригонометрический ряд
• Признак Жордана
• Признак Дини
• Числовой ряд
• АТС-теорема
• Натуральный звукоряд
• Шаблон:Iw

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям : учеб. пос. / А. П. Хромов, В. А. Халова; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. - Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 2009. ISBN 978-5-292-03945-7

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web

Внешние ссылки