Русская Википедия:Ряд обратных простых чисел

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Sum of reciprocals of primes.svg
Сумма обратных величин простых чисел неограниченно растёт. Ось x представлена в логарифмической шкале, что показывает, что расхождение очень медленное. Красная линия является нижней оценкой и тоже растёт неограниченно.

Ряд обратных простых чисел расходится. То есть:

<math>\sum_{p\text{ prime}}\frac1p = \frac12 + \frac13 + \frac15 + \frac17 + \frac1{11} + \frac1{13} + \frac1{17} + \cdots = \infty</math>

Этот факт доказал Леонард Эйлер в 1737Шаблон:Sfn, что усилило результат Евклида (3-й век до нашей эры), что существует бесконечно много простых чисел.

Существует целый ряд доказательств результата Эйлера, включая оценку нижней границы частичных сумм, которая утверждает, что

<math>\sum_{\scriptstyle p\text{ prime}\atop \scriptstyle p\le n}\frac1p \geqslant \ln \ln (n+1) - \ln\frac{\pi^2}6</math>

для всех натуральных чисел Шаблон:Mvar. Двойной натуральный логарифм (ln ln) говорит о том, что расхождение ряда очень медленное. См. статью «Константа Майсселя — Мертенса».

Гармонические ряды

Расходимость данного ряда была доказана Эйлером. Для этого он рассматривал гармонический ряд:

<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \infty </math>

А также следующее «тождество», с помощью которого он также показал, что множество простых чисел бесконечно:

<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p} \left( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots \right) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}} </math>

Здесь произведение берётся по всем простым числам. Такие бесконечные произведения сегодня называются Шаблон:Не переведено 5. Произведение выше является отражением основной теоремы арифметики. Эйлер заметил, что если бы количество простых чисел было конечным, то произведение справа должно было бы сходиться, что противоречит расходимости гармонического ряда.

Доказательства

Доказательство Эйлера

Продолжая рассуждения, описанные выше, Эйлер взял натуральный логарифм от каждой из сторон. Затем он использовал разложение в ряд Тейлора <math display="inline">-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\dots</math>, а также сходимость обратных степенных рядов:

<math>\begin{align}
\ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) & {} = \ln\left( \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}\right)
 = -\sum_p \ln \left( 1-\frac{1}{p}\right) \\
& {} = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) \\
& {} =  \sum_{p}\frac{1}{p}   + \frac{1}{2}\sum_p \frac{1}{p^2} + \frac{1}{3}\sum_p \frac{1}{p^3}  + \frac{1}{4}\sum_p \frac{1}{p^4}+ \cdots  \\
& {} =   A  + \frac{1}{2} B+ \frac{1}{3} C+ \frac{1}{4} D  + \cdots  \\
& {} = A  + K

\end{align}</math>

с фиксированной константой Шаблон:Math. Затем он использовал свойство

<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\ln\infty,</math>

вывод которого он объяснил, например, в более поздней работе 1748 годаШаблон:Sfn, путём присвоения Шаблон:Math в разложении Тейлора

<math>\ln\left(\frac1{1-x}\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n}}n.</math>

Это позволило ему заключить, что

<math>A=\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots = \ln \ln \infty.</math>

Предположительно, Эйлер подразумевал, что сумма обратных величин к простым числам, меньшим Шаблон:Mvar, асимптотически растёт как Шаблон:Math при стремлении Шаблон:Mvar к бесконечности. Оказалось, что это на самом деле имеет место и более точную версию этого факта строго доказал Франц Мертенс в 1874Шаблон:Sfn. Эйлер же получил правильный результат с помощью нестрогих методов.

Доказательство Эрдёша путём оценки сверху и снизу

Следующее доказательство от противного принадлежит Палу Эрдёшу.

Пусть Шаблон:Mvar означает Шаблон:Mvar-ое простое число. Представим, что сумма обратных величин простым числам сходится. Т.е.

<math>\sum_{i=1}^\infty \frac 1 {p_i} < \infty</math>

Тогда существует наименьшее положительное целое число Шаблон:Mvar, такое, что

<math>\sum_{i=k+1}^\infty \frac 1 {p_i} < \frac12 \qquad(1)</math>

Для положительного целого Шаблон:Mvar пусть Шаблон:Mvar означает множество Шаблон:Mvar из набора Шаблон:Math, которые не делятся на любое простое, большее Шаблон:Mvar (или, эквивалентно, все <math>n \leqslant x</math>, которые являются произведением степеней простых чисел <math>p_i \leqslant p_k</math>). Мы можем теперь вывести верхнюю и нижнюю оценку <math>|M_x|</math>, числа элементов в <math>M_x</math>. Для больших Шаблон:Mvar эти границы приводят к противоречию.

Оценка сверху:

Любое Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar может быть записан в виде <math>n = m^2r</math> c положительными целыми Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — свободное от квадратов число. Поскольку только Шаблон:Mvar простых <math>p_1, \ldots, p_k</math> может быть (с показателем 1) в разложении на простые числа  Шаблон:Mvar, есть не более Шаблон:Math различных возможностей для  Шаблон:Mvar. Более того, имеется не более <math>\sqrt{x}</math> возможных значений для  Шаблон:Mvar. Это даёт верхнюю оценку
<math>|M_x| \le 2^k\sqrt{x} \qquad(2)</math>

Оценка снизу:

Оставшиеся <math>x - |M_x|</math> чисел в разности множеств Шаблон:Math все делятся на простые числа, большие <math>p_k</math>. Пусть <math>N_{i,x}</math> означает множество таких Шаблон:Mvar из Шаблон:Math, которые делятся на Шаблон:Mvar-ое простое <math>p_i</math>. Тогда
<math>\{1,2,\ldots,x\}\smallsetminus M_x = \bigcup_{i=k+1}^\infty N_{i,x}</math>
Поскольку число целых чисел <math>N_{i,x}</math> не превосходит <math>\tfrac{x}{p_i}</math> (на самом деле, равно нулю для <math>p_i > x</math>), получаем
<math>x-|M_x| \leqslant \sum_{i=k+1}^\infty |N_{i,x}|< \sum_{i=k+1}^\infty \frac x {p_i}</math>
Используя (1), отсюда получаем
<math>\frac x 2 < |M_x| \qquad(3)</math>

Получаем противоречие — если <math>x \geqslant 2^{2k + 2}</math>, оценки (2) и (3) не могут выполняться одновременно, поскольку <math>\tfrac{x}{2} \geqslant 2^k\sqrt{x}</math>.

Доказательство того, что ряд растёт со скоростью log-log

Есть другое доказательство, которое даёт нижнюю оценку частичных сумм. В частности, это показывает, что эти суммы растут по меньшей мере как Шаблон:Math. Доказательство является вариантом идеи разложения произведения Эйлером. Ниже по тексту суммы или произведения по Шаблон:Mvar всегда представляют собой суммы или произведения по определённым множествам простых чисел.

Доказательство опирается на следующие четыре неравенства:

  • Любое положительное целое Шаблон:Mvar может быть единственным образом представлено в виде произведения свободных от квадратов чисел и квадрата. Это даёт неравенство
<math> \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}} \leqslant \prod_{p \le n}{\left(1 + \frac{1}{p}\right)}\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}}</math>,
где для любого Шаблон:Mvar между 1 и Шаблон:Mvar (разложенное) произведение соответствует свободной от квадратов части числа Шаблон:Mvar, а сумма соответствует квадратной части числа Шаблон:Mvar (см. статью «Основная теорема арифметики»).
<math>\begin{align}
\ln(n+1) &= \int_1^{n+1}\frac{dx}x \\
&= \sum_{i=1}^n\underbrace{\int_i^{i+1}\frac{dx}x}_{{} \,<\, \frac1i} \\
&< \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}

\end{align}</math>

<math>\begin{align}
\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}} 
&< 1 + \sum_{k=2}^n\underbrace{\left(\frac1{k - \frac{1}{2}} - \frac1{k + \frac{1}{2}}\right)}_{=\, \frac{1}{k^2 - \frac14} \,>\, \frac{1}{k^2}} \\
&= 1 + \frac23 - \frac1{n + \frac{1}{2}} < \frac53

\end{align}</math>

Комбинируя все эти неравенства, мы получаем

<math>\begin{align}
   \ln(n+1) & < \sum_{i=1}^n\frac{1}{i} \\
    & \le \prod_{p \le n}{\left(1 + \frac{1}{p}\right)}\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}} \\
    & < \frac53\prod_{p \le n}{\exp\left(\frac{1}{p}\right)} \\
    & = \frac53\exp\left(\sum_{p \le n}{\frac{1}{p}}\right)

\end{align}</math>

После деления на <math>\tfrac{5}{3}</math> и взятия натурального логарифма от обеих частей получим

<math>\ln\ln(n + 1) - \ln\frac53 < \sum_{p \le n}{\frac{1}{p}}</math>,

что и требовалось доказать. ∎

Используя

<math>\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}} = \frac{\pi^2}6</math>

(см. «Базельская задача»), константу выше <math>\ln \tfrac{5}{3} = 0{,}51082\ldots</math> можно улучшить до <math>\ln \tfrac{\pi^2}{6} = 0{,}4977\ldots</math>. Фактически, оказывается что

<math> \lim_{n \to \infty } \left( \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \ln \ln n \right) = M</math>,

где <math>M = 0{,}261497\ldots</math> — константа Майсселя — Мертенса (нечто аналогичное более известной постоянной Эйлера — Маскерони).

Доказательство из неравенства Дюзара

Из неравенства Дюзара мы имеем

<math> p_n < n \ln n + n \ln \ln n \quad</math> для <math>n \geqslant 6</math>

Тогда

<math>\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac1{ p_n}
 &\geqslant \sum_{n=6}^\infty \frac1{ p_n} \\
 &\geqslant \sum_{n=6}^\infty \frac1{ n \ln n + n \ln \ln n} \\
 &\geqslant \sum_{n=6}^\infty \frac1{2n \ln n} = \infty

\end{align}</math>

согласно интегральному признаку сходимости Коши — Маклорена. Это показывает, что ряд слева расходится.

Частичные суммы

В то время как частичные суммы обратных величин для простых чисел в конечном счёте достигает любое целое значение, они никогда не могут быть равны целому числу.

Одно из доказательствШаблон:Sfn этого делается по индукции — первая частичная сумма равна <math>\tfrac{1}{2}</math> и она имеет вид <math>\tfrac{odd}{even}</math> (то есть нечётное/чётное). Если Шаблон:Mvar-ая частичная сумма (для <math>n \geqslant 1</math>) имеет вид <math>\tfrac{odd}{even}</math>, то <math>(n + 1)</math>-ая сумма равна

<math>\frac\text{odd}\text{even} + \frac{1}{p_{n+1}} = \frac{\text{odd} \cdot p_{n+1} + \text{even}}{\text{even} \cdot p_{n+1}} = \frac{\text{odd} + \text{even}}\text{even} = \frac\text{odd}\text{even}</math>

поскольку <math>(n + 1)</math>-ое простое число <math>p_{n + 1}</math> нечётно. Поскольку сумма снова имеет вид <math>\tfrac{odd}{even}</math>, частичная сумма не может быть целым числом (2 делит знаменатель, но не делит числитель), что и доказывает утверждение.

Другое доказательство переписывает выражение для суммы первых Шаблон:Mvar обратных значений для простых чисел (или суммы обратных значений любого множества простых) в терминах общего знаменателя, которое является произведением всех этих простых чисел. Тогда каждое из этих простых чисел делит все члены числителя, кроме одного, а потому не делит числитель в целом. Но каждое простое делит знаменатель. Таким образом, дробь неприводима и не является целым числом.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Последовательности и ряды Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Ряд_обратных_простых_чисел&oldid=10730163