Русская Википедия:Свободное от сумм множество

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Свободное от сумм множество — множество, не включающее суммы своих элементов, используется в аддитивной комбинаторике и аддитивной теории чисел. Формально, подмножество <math>A</math> абелевой группы <math>G</math> является свободным от сумм, если его множество сумм <math>A + A</math> не пересекается с <math>A</math>. Другими словами, <math>A</math> является свободным от сумм, если уравнение <math>a + b = c</math> не имеет решения для <math>a,b,c \in A</math>.

Например, множество нечётных чисел является свободным от сумм подмножеством целых чисел, а множество <math>\{ N/2 + 1, \dots, N \}</math> образует свободное от сумм подмножество множества <math>\{ 1, \dots , N \}</math> (для чётного <math>N</math>).

Великая теорема Ферма утверждает, что множество ненулевых <math>n</math>-х степеней является свободным от целых подмножеством целых чисел для <math>n > 2</math>.

Некоторые вопросы, возникающие по отношению к свободным от сумм множествам:

• Сколько свободных от сумм подмножеств множества <math>\{1, \dots, N \}</math> существует для заданного <math>N</math>? Бен Грин и Александр Сапоженко показали, что ответ — <math>O(2^{N/2})</math>, как было предположено в в гипотезе Кэмерона — Эрдёша.
• Сколько свободных от сумм подмножеств содержит абелева группа <math>G</math>?
• Какова величина наибольшего свободного от сумм подмножества, содержащегося в абелевой группе <math>G</math>?

Свободное от сумм множество называется максимальным, если нет содержащего его большего свободного от сумм множества.