Русская Википедия:Семплирование по Гиббсу
Семплирование по Гиббсу — алгоритм для генерации выборки совместного распределения множества случайных величин. Он используется для оценки совместного распределения и для вычисления интегралов методом Монте-Карло. Этот алгоритм является частным случаем алгоритма Метрополиса-Гастингса и назван в честь физика Джозайи Гиббса.
Семплирование по Гиббсу замечательно тем, что для него не требуется явно выраженное совместное распределение, а нужны лишь условные вероятности для каждой переменной, входящей в распределение. Алгоритм на каждом шаге берет одну случайную величину и выбирает её значение при условии фиксированных остальных. Можно показать, что последовательность получаемых значений образуют возвратную цепь Маркова, устойчивое распределение которой является как раз искомым совместным распределением.
Применяется семплирование по Гиббсу в тех случаях, когда совместное распределение случайных величин очень велико или неизвестно явно, но условные вероятности известны и имеют простую форму. Семплирование по Гиббсу особенно хорошо используется для работы с апостериорной вероятностью в байесовских сетях, поскольку в них заданы все необходимые условные вероятности.
Алгоритм
Пусть есть совместное распределение <math>p(x_1,...,x_d)</math> для <math>d</math> случайных величин, причём <math>d</math> может быть очень большим. Пусть на шаге <math>t</math> мы уже выбрали какое-то значение <math>X = \{x^t_i\}</math>. На каждом шаге делаются следующие действия:
- Выбирается индекс <math>i: (1 \le i \le d</math>).
- <math>x^{t+1}_i</math> выбирается по распределению <math>p(x_i | x^{t}_1,...,x^{t}_{i-1},x^{t}_{i+1},...,x^t_d)</math>, а для остальных индексов значение не меняется: <math>x^{t+1}_j = x^t_j</math> (j≠i).
На практике обычно индекс выбирают не случайно, а последовательно. Алгоритм прост и не требует никаких специальных знаний и предположений, поэтому он популярен.
Пример
Пусть есть совместное распределение <math>p(x_1,x_2,x_3)</math> из трех случайных величин, каждая из которых находится в диапазоне от 0 до 10.
Примем, что первоначальное значение вектора, от которого начнется итерационный процесс, будет <math>X = \{5,2,7\}</math>.
Далее фиксируем <math>x_2</math> и <math>x_3</math>, после чего рассчитываем по известной заранее формуле условную вероятность <math>p(x_1 | x_2,x_3)</math>, то есть <math>p(x_1 | x_2=2,x_3=7)</math>, получая некоторый график плотности вероятности от переменной <math>x_1</math>. То, что изначально <math>x_1</math> мы положили равным 5, забываем, больше это значение не понадобится.
Теперь необходимо выполнить семплирование — сгенерировать новое случайное значение для <math>x_1</math> в соответствии с полученной плотностью вероятности. Семплирование можно сделать, например, по алгоритму выборки с отклонением. Для этого генерируется случайное число с равномерным распределением от 0 до 10, после чего для этого сгенерированного числа вычисляется его вероятность по графику плотности вероятности <math>p(x_1 | x_2=2,x_3=7)</math>.
Например, пусть сгенерировалось случайное число 4 и по графику плотности его вероятность равна 0.2. Тогда, в соответствии с алгоритмом выборки с отклонением, мы принимаем это сгенерированное число с вероятностью 0.2. А для этого, в свою очередь, генерируем ещё одно случайное число от 0 до 1 с равномерным распределением, и, если сгенерировалось число меньше 0.2, то мы принимаем число 4 как успешное. Иначе повторяем сначала — генерируем ещё одно число (например выпадает 3), для него находим вероятность (например, 0.3), для него генерируем ещё число от 0 до 1 (например, 0.1) и тогда уже принимаем окончательно, что на этой итерации <math>x_1=3</math>.
Далее необходимо повторить все действия выше с величиной <math>x_2</math>, причём <math>x_1</math> мы уже используем «новое» — в нашем примере равное 3. Так, рассчитываем плотность вероятности <math>p(x_2 | x_1=3,x_3=7)</math>, генерируем снова случайное число на роль кандидата нового значения <math>x_2</math>, делаем выборку с отклонением и повторяем её в случае, если значение «отклонено».
Аналогично действия повторяются для <math>x_3</math> с новыми значениями <math>x_1</math> и <math>x_2</math>. Первая итерация алгоритма семплирования по Гиббсу завершена. Через несколько сотен/тысяч таких итераций случайные значения должны прийти к максимуму своей плотности, который может быть расположен достаточно далеко от нашего первого приближения <math>X = \{5,2,7\}</math> и семплироваться в той области. Дальнейшая тысяча итераций может уже использоваться по назначению (для поиска математического ожидания, например) как образец значений искомого распределения, не зависящих от первоначального вектора <math>X = \{5,2,7\}</math>.
См. также
Ссылки
- Гиббс в байесовских сетях — the BUGS Project
- Пример семплирования по Гиббсу двумерного нормального распределения
