Русская Википедия:Симметрическая функция

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежаШаблон:Sfn. Если, например, <math>f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,x_3)</math>, функция может быть симметрической на всех переменных или парах <math>(x_1,x_2)</math>, <math>(x_2,x_3)</math> или <math>(x_1,x_3)</math>. Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется. Также обычно не важно точное число переменных, считается что их просто достаточно много. Чтобы сделать эту идею более строгой, с помощью проективного предела осуществляется переход к так называемому кольцу симметрических функций <math> \Lambda </math>, формально содержащему бесконечное число переменных.

Симметризация

Шаблон:Основная статья Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам, из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f. Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

Кольцо симметрических функций

Рассмотрим действие симметрической группы <math> S_n </math> на <math> \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n] </math> — кольцо многочленов от n переменных. Она действует перестановкой переменных. Как было сказано выше, симметрические многочлены в точности те, что не меняются под действием элементов этой группы. Таким образом, они образуют подкольцо:

<math> \Lambda_n = \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n]^{S_n} </math>

В свою очередь, <math> \Lambda_n </math> является градуированным кольцом:

<math> \Lambda_n = \bigoplus_{k \ge 0} \Lambda_n^k </math>, где <math> \Lambda_n^k </math> состоит из однородных симметрических многочленов степени k, а также нулевого многочлена.

Далее с помощью проективного предела определяется кольцо симметрических функций степени k:

<math> \Lambda^k = \varprojlim_n \Lambda_n^k </math>

Наконец, получаем градуированное кольцо <math> \Lambda = \bigoplus_{k \ge 0} \Lambda^k </math>, которое и называется кольцом симметрических функций.

Замечания.

  • <math> \Lambda </math> не является проективным пределом <math> \Lambda_k </math> (в категории колец). Например, бесконечное произведение <math> \prod_{j=1}^{\infty} (1+x_j) </math> не содержится в <math> \Lambda </math>, т.к. содержит мономы сколь угодно большой степени.
  • "Определитель" <math>(\prod_{i<j}(x_i-x_j))^2</math> также не имеет аналога в <math> \Lambda </math>.

Базисы в пространстве симметрических функций

  • Мономиальный базис. Для каждого разбиения <math> \lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots ) </math> определим моном <math> x^{\lambda} = x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2} \dots </math> Он не является симметрическим многочленом, а также содержит лишь конечное число переменных, входящих в него с ненулевой степенью. Теперь просуммируем множество мономов <math> x^{\lambda}_{\alpha} </math>, получаемых из него всевозможными перестановками индексов <math> \alpha </math> (каждый моном суммируется лишь один раз, даже если его можно получить с помощью нескольких различных перестановок): <math> m_{\lambda} = \sum_{\alpha} x^{\lambda}_{\alpha} </math>. Легко понять, что <math> m_{\lambda} </math> такие, что <math> |\lambda|=n </math> образуют базис <math> \Lambda^n </math>, а значит все <math> m_{\lambda} </math> образуют базис <math> \Lambda </math>, который называется мономиальным.
  • Элементарные симметрические функции. Для каждого целого <math> r \ge 0 </math> определим <math> e_r </math> — сумму всех возможных произведений из r различных переменных. Таким образом, <math> e_0=1 </math>, при <math> r \ge 1 </math>:
<math> e_r = \sum_{i_1<i_2< \dots < i_r} x_{i_1}x_{i_2} \dots x_{i_r} = m_{(1^r)} </math>
Для каждого разбиения <math> \lambda </math> элементарная симметрическая функция это <math> e_{\lambda} = e_{\lambda_1} e_{\lambda_2} \dots </math> Они образуют базис в пространстве <math> \Lambda </math>.
  • Полные симметрические функции. Для каждого целого <math> r \ge 0 </math> определим <math> h_r </math> — сумму всех мономиальных функций степени r. Таким образом, <math> h_0=1 </math>, при <math> r \ge 1 </math>:
<math> h_r = \sum_{|\lambda|=r} m_{\lambda} </math>
Далее, как и случае элементарных функций, положим <math> h_{\lambda} = h_{\lambda_1} h_{\lambda_2} \dots </math>
  • Степенные суммы. Для каждого <math> r \ge 1 </math> степенной суммой называется <math> p_r = \sum_{i \ge 1}^{\infty} x_{i}^r = m_{(r)} </math>.

Для разбиения <math> \lambda </math> степенная сумма определяется как <math> p_{\lambda} = p_{\lambda_1} p_{\lambda_2} \dots </math>

Тождества.

  • <math>\sum_{i=0}^k(-1)^ie_ih_{k-i}=0=\sum_{i=0}^k(-1)^ih_ie_{k-i}</math>, для всех k > 0,
  • <math>ke_k=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}p_ie_{k-i}</math>, для всех k > 0,
  • <math>kh_k=\sum_{i=1}^kp_ih_{k-i}</math>, для всех k > 0.

Соотношения для производящих функций.

Легко показать, что <math> E(t) = \sum_{r \ge 0} e_r t^r = \prod_{i \ge 1} (1+x_it) </math>

Также <math> H(t) = \sum_{r \ge 0} h_r t^r = \prod_{i \ge 1} (1-x_it)^{-1} </math>

Отсюда следует соотношение <math> H(t) E(-t) = 1 </math>

Наконец, <math> P(t) = \sum_{r \ge 1} p_r t^{r-1} = \sum_{i \ge 1} \sum_{r \ge 1} x_i^rt^{r-1}= \sum_{i \ge 1} \frac{x_i}{1-x_i t} = \sum_{i \ge 1} \frac{d}{dt} ln \frac{1}{1-x_i t} = \frac{d}{dt} ln \prod_{i \ge 1} (1-x_it)^{-1} = \frac{d}{dt} ln H(t) = \frac{H'(t)}{H(t)} </math>.

Аналогично получаем <math> P(-t) = \frac{d}{dt} ln E(t) = \frac{E'(t)}{E(t)} </math>.

  • Функции Шура. Пусть имеется конечное число переменных <math> x_1, x_2, \dots, x_n </math> и дано разбиение <math> \lambda </math> такое, что <math> l(\lambda) \le n </math> (длина разбиения не превосходит число переменных). Тогда многочленом Шура разбиения <math> \lambda </math> от n переменных называется <math> s_{\lambda}(x_1, x_2, \dots, x_n)= \frac{det (x_i^{\lambda_j+n-j})_{1 \le i,j \le n}}{det (x_i^{n-j})_{1 \le i,j \le n}} </math> — однородный симметрический многочлен степени <math> |\lambda| </math>. При <math> n \rightarrow \infty </math> эти многочлены сходятся к единственному элементу <math> s_{\lambda} \in \Lambda </math>, называемому функцией Шура разбиения <math> \lambda </math>.
  • Функции Джека. При введении особого скалярного произведения на <math> \Lambda </math> являются обобщением функций Шура, сохраняя многие из их свойств.

Приложения

U-статистика

Шаблон:Основная статья В статистике статистика на n-выборке (функция от n переменных), полученная путём бутстрэпа симметризации статистики на выборке из k элементов, даёт симметрическую функцию от n переменных, называемую Шаблон:Не переведено 5. Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Симметрическая_функция&oldid=10796290