Русская Википедия:Симплекс

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Си́мплекс или n-ме́рный тетра́эдр (от Шаблон:Lang-la ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Определение

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплексаШаблон:Sfn.

Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин <math>A_i</math>:

<math>\Delta=\left\{ \sum_{i=0}^n t_i A_i : \left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right) \wedge (\forall i \; t_i \geqslant 0) \right\}.</math>

Связанные определения

Файл:Tetrahedron.png

Модель правильного 3-симплекса

• Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом; в соответствии с терминологией общей топологии, замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Остовом симплекса называется множество всех его вершинШаблон:Sfn.
• Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершиныШаблон:Sfn.
• Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса.
• Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одну и ту же ориентацию (под ориентированным 0-симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»).
• Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Файл:2D-simplex.svg

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество арифметического пространства <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>, определяемое какШаблон:Sfn

<math>\Delta^n = \left\{ (t_0, \dots, t_n) : \left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right) \wedge (\forall i \; t_i \geqslant 0) \right\}.</math>

Его вершинами являются точкиШаблон:Sfn

e₀ = (1, 0, …, 0),

e₁ = (0, 1, …, 0),

…

e_n = (0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс Δ с координатами вершин <math>(v_0, v_1, \dots, v_n)</math>:

<math>(t_0, \dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.</math>

Значения <math>t_i</math> для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатамиШаблон:Sfn.

Свойства

• n-мерный симплекс имеет <math>n + 1</math> вершин, любые <math>k + 1</math> из которых образуют k-мерную грань.
  • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту <math>\tbinom{n + 1}{k + 1}.</math>
  • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно <math>n + 1</math>.
• Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле

  <math>V = \frac{1}{n!} \det(v_1 - v_0, v_2 - v_0, \dots, v_n - v_0).</math>

  • Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:

    <math>V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix},</math>

где <math>d_{ij} = |v_i - v_j|</math> — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

• Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен <math>\frac{\sqrt{n + 1}}{n!\cdot 2^{n/2}}</math>.

• Радиус <math>R</math> описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению

  <math>(R \cdot V)^2 = T,</math>

где <math>V</math> — объём симплекса, и

<math>T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^2} \begin{vmatrix}

0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}.</math>

Построение

Файл:1-tetrahedron to 2-tetrahedron.gif

Преобразование 1-симплекса в 2-симплекс

Файл:2-tetrahedron to 3-tetrahedron.gif

Преобразование 2-симплекса в 3-симплекс

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранникаШаблон:Sfn.

Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигурыШаблон:Sfn:

• 0-симплекс (точка) — 1 вершина;
• 1-симплекс (отрезок) — 2 вершины;
• 2-симплекс (треугольник) — 3 вершины;
• 3-симплекс (тетраэдр) — 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
2. Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
3. Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса

<math>K(L, n) = C^{L+1}_{n+1},</math>

где <math>C^k_n</math> — число сочетаний из n по k.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

<math>K(0, n) = K(n - 1, n) = n + 1.</math>

Соотношения в правильном симплексе

Для правильного n-мерного симплекса обозначим:

• <math>a</math> — длина стороны;
• <math>H_n</math> — высота;
• <math>V_n</math> — объём;
• <math>R_n</math> — радиус описанной сферы;
• <math>r_n</math> — радиус вписанной сферы;
• <math>\alpha_n</math> — двугранный угол.

Тогда

• <math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}</math>
• <math>V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}= \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>
• <math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>
• <math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}</math>
• <math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math> 
• <math>R_n = H_n \frac{n}{n+1}</math>
• <math>a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2</math>
• <math>V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n </math>
• <math>r_n^2 = R_n^2 - R_{n-1}^2</math>

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней	<math>K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1}</math>
Высота	<math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}</math>	<math>H_n = R_n \frac{n+1}{n}</math>	<math>H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3}</math>	<math>H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}</math>
Объём	<math>V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}</math>	<math>V_n = \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>	<math>V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}</math>	<math>V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12}</math>	<math>V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}</math>
Радиус описанной сферы	<math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>	<math>a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}</math>	<math>R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3}</math>	<math>R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4}</math>	<math>R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}</math>
Радиус вписанной сферы	<math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}</math>	<math>r_n = \frac{R_n}{n}</math>	<math>r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6}</math>	<math>r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12}</math>	<math>r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}</math>
Двугранный угол	<math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math>

Симплексы в топологии

Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства, которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов (симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства).

См. также

• Барицентрические координаты
• Барицентрическое подразделение
• Симплекс-метод
• Симплициальный комплекс
• Пятиячейник
• Теорема косинусов
• Теорема о сумме углов треугольника
• Триангуляция (геометрия)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — С. 23—31.

Ссылки

• Шаблон:Из БСЭ

Внешние ссылки