Русская Википедия:Симплициальная категория
Симплициальная категория (также симпле́кс-категория, ординальная категория)[1] — категория непустых конечных ординалов, морфизмы которой — монотонные функции. Играет важную роль в алгебраической топологииШаблон:Sfn, является основной для таких конструкций, как симплициальный объект и симплициальное множество.
Симплициальная категория <math>\Delta</math> (иногда используется обозначение <math>\mathbf{Ord}</math>[2]) строится из объектов вида <math>[n] = \{0, 1, \dots, n \}</math>, где <math>n</math> — натуральное число, и морфизмов <math>f: [n] \to [n']</math> таких, что из <math>i \leqslant j</math> следует <math>f(i) \leqslant f(j)</math>. Иными словами, объектами симплициальной категории являются конечные порядковые числа, а морфизмы — нестрого монотонные функции между ними. Порядковое число <math>[0]</math> является начальным объектом категории, а <math>[1]</math> — терминальным.
Свойства
Любой морфизм симплициальной категории может быть порождён композицией морфизмов[3] (<math>0 \leqslant i \leqslant n</math>):
- <math>\delta_i^n: [n-1] \to [n]</math>,
- <math>\sigma_i^n: [n+1] \to [n]</math>,
определённых следующим образом:
- <math>\delta_i^n(j) = \begin{cases}j, & j < i \\
j+1, & j \geqslant i
\end{cases}</math> (возрастающее инъективное отображение, «пропускающее» <math>i</math>),
- <math>\sigma_i^n(j) = \begin{cases}j, & j \leqslant i \\
j-1, & j > i
\end{cases}</math> (неубывающее сюръективное отображение, принимающее значение <math>i</math> дважды).
Более того, для всякого <math>f \in \mathrm{Hom}_\Delta([m], [n])</math> единственно представление:
- <math>f = \delta_{i_s}^n \delta_{i_{s-1}}^{n-1} \dots \delta_{i_1}^{n-s+1} \sigma_{j_t}^{m-t} \dots \sigma_{j_2}^{m-2} \sigma_{j_1}^{m-1}</math>,
где <math>0 \leqslant i_1 < \dots < i_s \leqslant n</math>, <math>0 \leqslant j_t < \dots < j_1 < m</math>, <math>n = m - t +s</math>.
Эти морфизмы удовлетворяют следующим соотношениям:
- <math>\delta_j^{n+1} \delta_i^n = \delta_i^{n+1} \delta_{j-1}^n</math>, если <math>i < j</math>,
- <math>\sigma_j^n \sigma_i^{n+1} = \sigma_i^n \sigma_{j+1}^{i+1}</math>, если <math>i \leqslant j</math>,
- <math>\sigma_j^{n-1} \delta_i^n = \begin{cases}\delta_i^{n-1} \sigma_{j-1}^{n-2}, & i < j \\
\mathsf{Id}_{[n-1]}, & i = j \, \vee \, i = j+1 \\
\delta_{i-1}^{n-1} \sigma_j^{n-2}, & i > j + 1
\end{cases}</math>
Данные соотношения однозначно определяют морфизмы <math>\delta</math> и <math>\sigma</math>.
Связанные определения
Порядковое сложение — бифунктор <math>+: \Delta \times \Delta \to \Delta</math>, определённый на порядковых числах как обычное сложение:
- <math>[n] + [n'] = [n + n']</math>,
а для морфизмов <math>f: [n] \to [n']</math> и <math>g: [m] \to [m']</math> по следующей схеме:
- <math>(f + g)(i) = \begin{cases}f(i), & 0 \leqslant i \leqslant n-1 \\
n' + g(i-n), & n \leqslant i \leqslant n+m-1
\end{cases}</math>.
Симплициальная категория с порядковым сложением образует строго моноидальную категорию.
В приложениях также используется пополненная симплициальная категория (Шаблон:Lang-en) <math>\Delta_+</math> — симплициальная категория, дополненная ординалом <math>[-1]=\varnothing</math>: <math>\Delta_+ = \Delta \cup [-1]</math>. Иногда пополненную симплициальную категорию называют алгебраической симплициальной категорией, в этом случае <math>\Delta</math> называют топологической.
Примечания
Литература
- ↑ Иногда симплициальной категорией называют симплициальный объект из категории малых категорий. Кроме того, иногда таким же образом называют Шаблон:Нп2 — категории, обогащённые над категорией симплициальных множеств. При наличии в контексте таких конструкций термина «симплициальная категория» для <math>\Delta</math> стараются избегать, используя альтернативные термины или только обозначение.
- ↑ Как <math>\mathbf{Ord}</math> часто также обозначается категория всех линейно упорядоченных множеств, в которой симплициальная категория является полной подкатегорией
- ↑ Шаблон:Из
