Русская Википедия:Скин-эффект
Пове́рхностный эффе́кт, скин-эффект — эффект уменьшения амплитуды электромагнитных волн по мере их проникновения вглубь проводящей среды. В результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты при протекании по проводнику распределяется не равномерно по сечению, а преимущественно в поверхностном слое.
Объяснение поверхностного эффекта
Физическая картина возникновения
Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течёт ток. Вокруг проводника с током имеется магнитное поле, силовые линии которого являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника. В результате увеличения силы тока возрастает индукция магнитного поля, а форма силовых линий при этом остаётся прежней. Поэтому в каждой точке внутри проводника производная <math> \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} </math> направлена по касательной к линии индукции магнитного поля и, следовательно, линии <math> \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} </math> также являются окружностями, совпадающими с линиями индукции магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле по закону электромагнитной индукции:
- <math> \operatorname{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} </math>
создаёт электрическое индукционное поле, силовые линии которого представляют замкнутые кривые вокруг линии индукции магнитного поля. Вектор напряжённости индукционного поля в более близких к оси проводника областях направлен противоположно вектору напряжённости электрического поля, создающего ток, а в более дальних — совпадает с ним. В результате плотность тока уменьшается в приосевых областях и увеличивается вблизи поверхности проводника, то есть возникает скин-эффект.
Уравнение, описывающее скин-эффект
Исходим из уравнения Максвелла:
- <math> \operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu \mathbf{j} </math>
и выражения для <math> \mathbf{j} </math> по закону Ома:
- <math> \mathbf{j} = \gamma \mathbf{E}.</math>
Дифференцируя обе части полученного уравнения по времени, находим:
- <math> \operatorname{rot} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \mu \gamma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},</math>
- <math> - \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E} = \mu \gamma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},</math>
здесь <math>\gamma</math> — удельная проводимость материала проводника, <math>\gamma = 1/\rho,\ \ </math> <math>\rho</math> — удельное сопротивление материала проводника.
Поскольку <math> \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E} = \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{E} - \nabla^2 \mathbf{E} </math> и <math> \operatorname{div} \mathbf{E} = 0 </math> окончательно получаем:
- <math> \nabla^2 \mathbf{E} = \mu \gamma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} </math>.
здесь <math>\mu</math> — абсолютная магнитная проницаемость материала проводника, <math>\mu = \mu_0 \mu_m,\ \ </math> <math>\mu_0</math> — магнитная проницаемость вакуума, <math>\mu_m</math> — относительная магнитная проницаемость материала проводника.
Для упрощения решения предположим, что ток течёт вдоль оси <math>X</math> по однородному бесконечному проводнику, занимающему полупространство <math>y>0</math>. Поверхностью проводника является плоскость <math>Y=0.</math> Таким образом:
- <math>j_x = j_x (y,t),\qquad j_y = j_z = 0,</math>
- <math>E_x = E_x (y,t),\qquad E_y = E_z = 0.</math>
Тогда:
- <math>\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} = \mu \gamma \frac{\partial E_x}{\partial t}.</math>
В этом уравнении все величины гармонически зависят от <math>t,</math> и можно положить:
- <math>E_x (y,t) = E_0 (y) e^{i \omega t},</math>
здесь <math>\omega</math> — угловая частота.
Подставим это в наше уравнение и получим уравнение для <math>E_0 (y):</math>
- <math>\frac{\partial^2 E_0}{\partial y^2} = i \gamma \mu \omega E_0.</math>
Общее решение этого уравнения:
- <math>E_0 = A_1 e^{- k y} + A_2 e^{k y}.</math>
Учитывая, что <math>k = \sqrt{i \gamma \mu \omega} = \alpha (1 + i)</math>, где <math> \alpha = \sqrt{ \frac{\gamma \mu \omega}{2} }</math>, находим:
- <math>E_0 = A_1 e^{- \alpha y}e^{-i \alpha y} + A_2 e^{\alpha y}e^{i \alpha y}.</math>
При удалении от поверхности проводника (<math> y \rightarrow \infty </math>) второе слагаемое неограниченно возрастает, что является физически недопустимой ситуацией. Следовательно, <math>A_2 = 0</math>, и в качестве физически приемлемого решения остаётся только первое слагаемое. Тогда решение задачи имеет вид:
- <math>E_x = A_1 e^{- \alpha y} e^{i(\omega t - \alpha y)}.</math>
Взяв действительную часть от этого выражения и перейдя с помощью соотношения <math> \mathbf{j} = \gamma \mathbf{E} </math> к плотности тока, получим:
- <math> j_x (y,t) =A_1 e^{- \alpha y} \cos{(\omega t - \alpha y)}.</math>
Принимая во внимание, что <math>j_x (0,0) = j_0</math> — амплитуда плотности тока на поверхности проводника, приходим к следующему распределению объёмной плотности тока в проводнике:
- <math> j_x (y,t) = j_0 e^{- \alpha y} \cos{(\omega t - \alpha y)}.</math>
Толщина скин-слоя
Материалы:
Mn-Zn – магнитомягкий марганцево-цинковый феррит марки 3C90 с начальной относительной магнитной проницаемостью 2300 (при 25 °C, 10 кГц) и удельным сопротивлением 5 Ом·м.
Al – алюминий, относительная проницаемость = 1, удельное сопротивление = Шаблон:Val.
Cu – медь, относительная проницаемость = 1, удельное сопротивление = Шаблон:Val.
Сталь 410 – ферромагнитная нержавеющая сталь 410, магнитная проницаемость 1000 и удельное сопротивление = Шаблон:Val.
Fe-Si – текстурированная электротехническая сталь (состав около 97% Fe и 3% Si), проницаемость = 29000 и удельное сопротивление = Шаблон:Val.
Fe-Ni – пермаллой (торговое наименование VACUUMSCHMELZE GmbH & Co. KG - Mumetall), проницаемость = 250 000 и удельное сопротивления = Шаблон:Val.
Красной вертикальной прямой отмечена частота 50 Гц.
Плотность тока максимальна у поверхности проводника. При удалении от поверхности она убывает экспоненциально и на глубине <math>\delta</math> становится меньше в е раз (примерно на 70 %). Эта глубина называется толщиной скин-слоя и на основании приведённого выше равна:
- <math>\Delta = \sqrt{\frac{2}{\gamma \mu \omega}}.</math>
| Частота | <math>\delta,</math> мм |
Примечания |
|---|---|---|
| 50 Гц | 9,34 мм | 50 Гц — частота электросети в большинстве стран Евразии и Африки |
| 60 Гц | 8,53 мм | 60 Гц — частота электросети в Северной, Центральной и частично Южной Америке |
| 10 кГц | 0,66 мм | |
| 100 кГц | 0,21 мм | |
| 500 кГц | 0,095 мм | |
| 1 МГц | 0,067 мм | |
| 10 МГц | 0,021 мм |
Очевидно, что при достаточно большой частоте <math>\omega</math> толщина скин-слоя может быть очень малой. Также из экспоненциального убывания плотности тока следует, что практически весь ток сосредоточен в слое толщиной в несколько <math>\delta</math>, так, уменьшение плотности тока в 100 раз происходит на глубине <math>\approx \text{4,6}\ \delta</math>, если общая толщина проводника многократно превышает толщину скин-слоя. В качестве примера в таблице приведена зависимость толщины скин-слоя от частоты для медного проводника.
Если проводник имеет ферромагнитные свойства, то толщина скин-слоя будет во много раз меньше. Например, для стали (<math>\mu_m\ </math>= 1000) <math>\delta\ </math>= 0,74 мм. Это имеет значение, например, при электрификации железных дорог, поскольку там стальные рельсы используются в качестве обратного провода.
Для расчёта толщины скин-слоя в металле можно использовать следующие приближённые формулы:
- <math>\Delta=c \sqrt{2\frac{\varepsilon_0}{\omega\mu_m}\rho},</math>
здесь <math>\ \varepsilon_0</math> = 8,85419Шаблон:E Ф/м — электрическая постоянная, <math>\ \rho</math> — удельное сопротивление, <math>\ c</math> — скорость света, <math>\ \mu_m</math> — относительная магнитная проницаемость (близка к единице для пара- и диамагнетиков — меди, серебра, и т. п.), <math>\ \omega=2\pi \cdot f,\ \ </math> <math>\ f\ </math> — частота.
Все величины выражены в системе СИ.
Практически удобная формула:
- <math>\Delta=503\sqrt{\frac{\rho}{\mu_m f}}.</math>
Аномальный скин-эффект
Изложенная теория справедлива лишь при условии, что толщина скин-слоя много больше средней длины свободного пробега электронов, так как мы предполагаем, что при своём движении электрон непрерывно теряет энергию на преодоление омического сопротивления проводника, в результате чего происходит выделение джоулевой теплоты. Такое соотношение справедливо в весьма широких пределах, однако даже при комнатной температуре длина свободного пробега электрона для металлов сопоставима с глубиной скин-слоя — что говорит об аномальном характере эффекта. При очень низкой температуре ситуация только усугубляется[1]: проводимость сильно повышается, а следовательно, увеличивается длина свободного пробега и уменьшается толщина скин-слоя. При этих условиях механизм, приводящий к образованию скин-эффекта, уже не действует. Эффективная толщина слоя, в котором сосредоточен ток, изменяется. Такое явление называется аномальным скин-эффектом.
Применение
На скин-эффекте основано действие взрывомагнитных генераторов (ВМГ), взрывомагнитных генераторов частоты (ВМГЧ) и в частности ударно-волновых излучателей (УВИ)Шаблон:Нет АИ.
Благодаря скин-эффекту в высокочастотном магнитном поле теплота выделяется преимущественно в поверхностном слое. Это позволяет нагревать проводник в тонком поверхностном слое без существенного изменения температуры внутренних областей. Это явление используется в важном, с промышленной точки зрения, методе поверхностной закалки металлов, реализуемом на основе индукционного нагрева.
Помимо поверхностной закалки, в индукционном нагреве скин-эффект позволяет реализовать технологию индукционного удаления полимерных покрытий, широко используемую при ремонте магистральных нефте- и газопроводов, ремонте палубных покрытий морских судов и т. п.[2]
Учёт эффекта в технике и борьба с ним
Скин-эффект проявляется существеннее с увеличением частоты переменного тока, и учитывается при конструировании и расчётах электрических схем, работающих на переменном и импульсном токах. Так как ток высокой частоты течёт по тонкому поверхностному слою проводника, общее активное сопротивление проводника возрастает, что приводит к быстрому затуханию колебаний высокой частоты.
Скин-эффект влияет на характеристики катушек индуктивности и колебательных контуров, такие как добротность, на затухание в линиях передачи, на характеристики фильтров, на расчёты тепловых потерь и КПД, на выбор сечений проводников.
Для уменьшения влияния скин-эффекта применяют проводники различного сечения: плоские (в виде лент), трубчатые (полые внутри), наносят на поверхность проводника слой металла с более низким удельным сопротивлением. Например, серебро обладает наибольшей удельной проводимостью среди всех металлов и технологично для нанесения на металлические поверхности. Тонкий его слой, в котором из-за скин-эффекта и протекает бо́льшая часть тока, оказывает заметное снижение (до 10 %) активного сопротивления проводника. Однако, слой сульфида, образующийся на поверхности серебра, не проводит ток и не участвует в скин-эффекте, в отличие от слоя окиси-закиси на поверхности меди, обладающего заметной проводимостью, и имеет свойства полупроводника, и вносит дополнительные потери на высоких частотах.
Покрытие серебром также применяется в сверхвысокочастотном оборудовании, использующем колебательные контуры особой формы: объёмные резонаторы и специфические линии передачи — волноводы. Кроме того, на таких частотах уделяют внимание снижению шероховатости поверхности с целью уменьшения длины пути протекания тока.
Также применяется и покрытие золотом, у которого слой окислов отсутствует. Напротив, покрытие никелем, оловом или оловянно-свинцовым припоем способно значительно, в несколько раз увеличить сопротивление медных проводников на высоких частотах.
Так, в ВЧ аппаратуре используют катушки индуктивности, намотанные из посеребрённого провода, часто серебрят печатные и проволочные проводники, поверхности экранов и обкладки конденсаторов. В высоковольтных линиях электропередач иногда применяют провод в медной либо алюминиевой оболочке со стальным сердечникомШаблон:Нет АИ, в мощных генераторах переменного тока обмотка изготавливается из трубок, по которым для охлаждения циркулирует дистиллированная вода.
Также с целью снижения скин-эффекта используют систему из нескольких переплетённых и изолированных проводов — намоточный провод литцендрат.
При передаче больших мощностей на значительные расстояния применяются линии электропередачи постоянного тока — HVDC, постоянный ток не вызывает скин-эффекта.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Электромагнитная экранировка. Модель скин-эффекта / Гервидс, Валериан Иванович — доцент кафедры общей физики МИФИ, кандидат физико-математических наук.
