Русская Википедия:Сопряжённые функторы
Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном из Еврейского университета в Иерусалиме в 1956 году[1]. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.
Неформально, функторы Шаблон:Math и Шаблон:Math сопряжены, если они удовлетворяют соотношению <math>\mathrm{Hom}(F(X),Y) \simeq \mathrm{Hom}(X, G(Y))</math>. Тогда Шаблон:Math называется левым сопряжённым функтором, а Шаблон:Math — правым.
Мотивировка
Сопряжённые функторы — один из ключевых инструментов теории категорий, многие примечательные математические конструкции могут быть описаны как сопряжённые функторы. В результате из общих теорем о сопряжённых функторах, таких как эквивалентность различных определений, и из того факта, что правые сопряжённые функторы коммутируют с пределами (а левые — с копределами), могут немедленно следовать доказательства многих интересных результатов.
Решение оптимизационной задачи
Можно сказать, что сопряжённый функтор — это способ указания наиболее эффективного решения некоторой проблемы с помощью стандартного метода. Например, элементарная проблема из теории колец — как превратить псевдокольцо (то есть кольцо, которое может не иметь мультипликативной единицы) в кольцо. Наиболее эффективный способ это сделать — добавить в кольцо единицу, все элементы, необходимые для выполнения аксиом кольца (например, элементы типа Шаблон:Math, где Шаблон:Math — элемент кольца) и не предполагать никаких соотношений в новом кольце, которые не необходимы для выполнения аксиом. Эта конструкция стандартна в том смысле, что она работает для любого псевдокольца.
Приведенное выше описание очень расплывчато, но его можно сделать точным, используя язык теории категорий: конструкция «наиболее эффективна», если она удовлетворяет универсальному свойству, и «стандартна» в том смысле, что она задаёт функтор. Универсальные свойства делятся на начальные и терминальные, так как эти понятия двойственны, достаточно рассмотреть одно из них.
Идея использования начального свойства состоит в том, чтобы сформулировать проблему в терминах такой вспомогательной категории Шаблон:Math, чтобы осталось лишь найти начальный объект Шаблон:Math. Такая формулировка имеет то преимущество, что задача «нахождения наиболее эффективного решения» становится вполне строгой и в каком-то смысле сходной с задачей нахождения экстремума. Для выбора правильной категории Шаблон:Math иногда требуется подбирать непростые приёмы: в случае полукольца Шаблон:Math нужная категория — это категория, объекты которой — гомоморфизмы полуколец Шаблон:Math, где Шаблон:Math — некоторое кольцо с единицей. Морфизмы в Шаблон:Math между Шаблон:Math и Шаблон:Math — коммутативные треугольники вида Шаблон:Math, где Шаблон:Math — гомоморфизм колец. Существование морфизма между Шаблон:Math и Шаблон:Math означает, что Шаблон:Math — не менее эффективное решение проблемы, чем Шаблон:Math имеет больше добавленных элементов и (или) больше соотношений между ними, чем Шаблон:Math.
Сказать, что этот метод определяет «наиболее эффективное» и «стандартное» решение проблемы — то же самое, что сказать, что он задает сопряжённые функторы.
Формальные определения
Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов. Их эквивалентность элементарна, но не тривиальна.
Определение с помощью универсальной стрелкиШаблон:Переход легко сформулировать, оно также наиболее близко к нашей интуиции по поводу «оптимизационной задачи».
Определение с помощью единицы и коединицыШаблон:Переход удобно для функторов, часто встречающихся в алгебре, потому что предоставляет формулы, которые можно проверить напрямую.
Определение с помощью [[Функтор Hom|множеств Шаблон:Math]]Шаблон:Переход делает очевидной симметричность определения и проясняет причины для именования функторов «сопряжёнными».
Универсальная стрелка
Функтор Шаблон:Math — левый сопряжённый функтор, если для каждого объекта Шаблон:Math категории Шаблон:Math существует терминальная стрелка Шаблон:Math из Шаблон:Math в Шаблон:Math. Если для каждого Шаблон:Math в Шаблон:Math мы выберем объект Шаблон:Math в Шаблон:Math, для которого определена терминальная стрелка Шаблон:Math, то существует единственный функтор Шаблон:Math, такой, что Шаблон:Math и для любого морфизма в категории Шаблон:Math Шаблон:Math выполняется Шаблон:Math; Шаблон:Math тогда называют левым сопряжённым к функтору Шаблон:Math.
Функтор Шаблон:Math — правый сопряжённый функтор, если для каждого объекта Шаблон:Math категории Шаблон:Math существует начальная стрелка из Шаблон:Math в Шаблон:Math. Если для каждого Шаблон:Math в Шаблон:Math выбрать объект Шаблон:Math в Шаблон:Math, такой, что определена начальная стрелка Шаблон:Math из Шаблон:Math в Шаблон:Math, то существует единственный функтор Шаблон:Math, такой, что Шаблон:Math и Шаблон:Math для Шаблон:Math — морфизма в Шаблон:Math; Шаблон:Math тогда называют правым сопряжённым к функтору Шаблон:Math.
Как и подразумевает терминология, верно, что Шаблон:Math — левый сопряжённый для Шаблон:Math тогда и только тогда, когда Шаблон:Math — правый сопряжённый для Шаблон:Math. Однако это не очевидно из определения через универсальную стрелку, но очевидно благодаря определению через единицу и коединицу.
Единица и коединица
Для задания единицы и коединицы в категориях Шаблон:Math и Шаблон:Math нужно зафиксировать два функтора Шаблон:Math и два естественных преобразования:
- <math>\begin{align}
\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\ \eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align}</math>, называемых соответственно коединицей и единицей сопряжения, таких, что композиции
- <math>F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F</math> и
- <math>G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G</math>
являются тождественными преобразованиями Шаблон:Math и Шаблон:Math функторов Шаблон:Math и Шаблон:Math соответственно.
В такой ситуации Шаблон:Math является левым сопряжённым для Шаблон:Math и Шаблон:Math является правым сопряжённым для Шаблон:Math. Иногда это отношение обозначают <math>(\varepsilon,\eta):F\dashv G</math> или просто <math>F\dashv G</math> .
В форме уравнений приведённые выше условия на Шаблон:Math называются уравнениями коединицы и единицы:
- <math>\begin{align}
1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\ 1_G &= G\varepsilon \circ \eta G \end{align}</math>
Определение через функтор Hom
Рассмотрим два функтора Шаблон:Math и Шаблон:Math. Пусть существует естественный изоморфизм:
- <math>\Phi:\mathrm{hom}_C(F-,-) \to \mathrm{hom}_D(-,G-)</math>.
Это определяет семейство биекций:
- <math>\Phi_{Y,X}:\mathrm{hom}_C(FY,X) \to \mathrm{hom}_D(Y,GX)</math>.
для всех объектов Шаблон:Math в Шаблон:Math и Шаблон:Math в Шаблон:Math.
Здесь Шаблон:Math называется левым сопряжённым для Шаблон:Math и Шаблон:Math — правым сопряжённым для Шаблон:Math.
Чтобы понять, что подразумевается под естественностью Шаблон:Math, нужно объяснить, каким образом Шаблон:Math и Шаблон:Math являются функторами. На самом деле, они оба являются бифункторами из Шаблон:Math в Шаблон:Math. В явном виде естественность Шаблон:Math означает, что для всех морфизмов Шаблон:Math в Шаблон:Math и морфизмов Шаблон:Math в Шаблон:Math следующая диаграмма коммутирует:
Примеры
Свободные группы
Конструкция свободной группы является удобным примером для прояснения сути определений. Пусть Шаблон:Math — функтор, который множеству Шаблон:Math сопоставляет свободную группу, порожденную элементами Шаблон:Math, и Шаблон:Math — забывающий функтор, сопоставляющий группе Шаблон:Math её множество-носитель. Тогда Шаблон:Math — левый сопряжённый для Шаблон:Math:
Терминальные стрелки: для каждой группы Шаблон:Math, группа Шаблон:Math — свободная группа, порождённая элементами Шаблон:Math как множеством. Пусть <math>\varepsilon_X:FGX\to X</math> — гомоморфизм групп, который переводит образующие Шаблон:Math в соответствующие элементы Шаблон:Math. Тогда <math>(GX,\varepsilon_X)</math> — терминальный морфизм из Шаблон:Math в Шаблон:Math, потому что любой гомоморфизм из свободной группы Шаблон:Math в Шаблон:Math проносится через <math>\varepsilon_X:FGX\to X</math> при помощи единственной функции из множества Шаблон:Math во множество Шаблон:Math. Это означает, что Шаблон:Math — пара сопряжённых функторов.
Множества Hom: отображения из свободной группы Шаблон:Math в группу Шаблон:Math однозначно соответствуют отображениям множества Шаблон:Math во множество Шаблон:Math: каждый гомоморфизм однозначно определяется своими значениями на образующих свободной группы. Прямым вычислением можно проверить, что это соответствие — естественное преобразование, а значит, пара Шаблон:Math сопряжённая.
Дальнейшие примеры из алгебры
- Все Шаблон:Iw — результаты применения свободного функтора, который является левым сопряжённым для забывающего функтора.
- Произведения, ядра и уравнители — примеры категорных пределов. Все функторы предела являются правыми сопряжёнными к диагональному функтору. Аналогично, копроизведения, коядра и коуравнители являются копределами, а функтор копредела — левый сопряжённый для диагонального.
- Добавление единицы в псевдокольцо (пример из раздела «Мотивировка»). Если нам дано псевдокольцо Шаблон:Math, то соответствующее ему кольцо — это произведение Шаблон:Math, на котором определено Шаблон:Math-билинейное произведение по формуле Шаблон:Math. Построенный функтор сопряжён слева к забывающему функтору, отправляющему кольцо в соответствующее ему псевдокольцо.
- Расширения колец. Пусть Шаблон:Math и Шаблон:Math — кольца, и Шаблон:Math — гомоморфизм колец. Тогда Шаблон:Math можно рассматривать как (левый) Шаблон:Math-модуль, и тензорное произведение с Шаблон:Math определяет функтор Шаблон:Math. Здесь Шаблон:Math сопряжён слева к забывающему функтору Шаблон:Math.
- Тензорные произведения. Если Шаблон:Math — кольцо и Шаблон:Math — правый Шаблон:Math-модуль, то тензорное произведение с Шаблон:Math определяет функтор Шаблон:Math. Функтор Шаблон:Math, определенный как Шаблон:Math сопряжён справа к Шаблон:Math.
- Поле частных. Для категории Шаблон:Math целостных колец и инъективных гомоморфизмов, забывающий функтор Шаблон:Math имеет левый сопряжённый, сопоставляющий каждому целостному кольцу его поле частных.
- Кольца многочленов'. Для Шаблон:Math — категории коммутативных колец с отмеченным элементом и гомоморфизмов, сохраняющих отмеченный элемент, забывающий функтор Шаблон:Math имеет левый сопряжённый — он сопоставляет кольцу Шаблон:Math пару Шаблон:Math, где Шаблон:Math — кольцо многочленов с коэффициентами из Шаблон:Math.
- Абелианизация. Забывающий функтор Шаблон:Math имеет левый сопряжённый, называемый функтором абелианизации, который каждой группе Шаблон:Math сопоставляет факторгруппу по коммутанту: Шаблон:Math.
Примеры из топологии
- Функтор с двумя сопряжёнными. Пусть Шаблон:Math — функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель (то есть забывающий топологию). У Шаблон:Math есть левый сопряжённый Шаблон:Math, наделяющий множества дискретной топологией, и правый сопряжённый Шаблон:Math, наделяющий множества тривиальной топологией.
- Надстройка и пространства петель. По данным топологическим пространствам Шаблон:Math и Шаблон:Math можно построить пространство Шаблон:Math классов гомотопии отображений из надстройки Шаблон:Math в Шаблон:Math. Оно естественным образом изоморфно пространству Шаблон:Math классов гомотопии отображений из Шаблон:Math в пространство петель Шаблон:Math, поэтому функторы надстройки и пространства петель сопряжены в гомотопической категории топологических пространств.
- Вложение Шаблон:Math категории компактных хаусдорфовых пространств в категорию топологических пространств имеет левый сопряжённый функтор Шаблон:Math — компактификацию Стоуна — Чеха. Коединица этой пары задаёт непрерывное отображение из произвольного топологического пространства Шаблон:Math в его компактификацию. Это отображение является вложением тогда и только тогда, когда Шаблон:Math — вполне регулярное пространство.
Свойства
Существование
Не каждый функтор Шаблон:Math имеет левый или правый сопряжённый. Если Шаблон:Math — полная категория, то по теореме о сопряжённых функторах Петера Фрейда Шаблон:Math имеет левый сопряжённый тогда и только тогда, когда для любого Шаблон:Math из категории Шаблон:Math существует семейство морфизмов:
где индексы Шаблон:Math пробегают множество Шаблон:Math, такое, что любой морфизм:
может быть записан как:
для некоторого Шаблон:Math в Шаблон:Math и некоторого морфизма:
Аналогичное утверждение характеризует функторы, имеющие правый сопряжённый.
Единственность
Если функтор Шаблон:Math имеет два правых сопряжённых Шаблон:Math и Шаблон:Math, то Шаблон:Math и Шаблон:Math естественно изоморфны.
В другую сторону, если Шаблон:Math сопряжён слева к Шаблон:Math, и Шаблон:Math естественно изоморфен Шаблон:Math, то Шаблон:Math также сопряжён слева к Шаблон:Math.
Композиция
Композиции сопряжений можно брать естественным образом. Если Шаблон:Math — сопряжение между Шаблон:Math и Шаблон:Math, и Шаблон:Math — сопряжение между Шаблон:Math и Шаблон:Math, то функтор
- <math>F' \circ F : \mathcal{C} \leftarrow \mathcal{E}</math>
сопряжён слева к функтору
- <math>G \circ G' : \mathcal{C} \to \mathcal{E}</math>.
Можно образовать категорию, объекты которой — все малые категории, а морфизмы — сопряжения.
Коммутирование с пределами
Наиболее важное свойство сопряжённых функторов — их непрерывность: каждый функтор, имеющий левый сопряжённый (то есть являющийся правым сопряжённым), коммутирует с пределами в категорном смысле. Соответственно, функтор, имеющий правый сопряжённый, конепрерывен, то есть коммутирует с копределами. Поскольку многие конструкции являются пределами или копределами, из этого сразу вытекает несколько следствий. Например:
- Применение правого сопряжённого функтора к произведению даёт произведение образов.
- Применение левого сопряжённого функтора к копроизведению даёт копроизведение образов.
- Каждый правый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен слева.
- Каждый левый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен справа.
Примечания
Литература
