Русская Википедия:Сопряжённый корень

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Если задан некоторый неприводимый многочлен <math>f(x)</math> над кольцом <math>K</math> и выбран некоторый его корень <math>\alpha</math> в расширении <math>K[\alpha]</math>, то сопряженным корнем для данного корня <math>\alpha</math> многочлена <math>f(x)</math> называется любой корень многочлена <math>f(x)</math> (иногда, в зависимости от контекста, под сопряженным корнем понимается любой другой корень данного многочлена). Число сопряженных корней неприводимого многочлена равно степени <math>\operatorname{deg}f</math> многочлена <math>f</math>. Также говорят, что элементы <math>\alpha,\beta</math> являются сопряженными, если они являются корнями некоторого неприводимого многочлена <math>f</math>

Свойства

• Теорема Виета задает <math>\operatorname{deg}f</math> алгебраических соотношений между сопряженными корнями многочлена.
• Если <math>K</math> — поле, то Группа Галуа <math>Gal(K(\alpha),K)</math> изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок, действующей на множестве сопряженных корней многочлена. Отображение корня в ему сопряженный задает автоморфизм расширения основного поля.

Примеры

• Если <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> — многочлен 2-й степени, то сопряженные корни имеют вид <math>r\pm\sqrt{s}</math>.
• Корни из единицы <math>\varepsilon ^j</math> n-й степени являются сопряженными корнями многочлена <math>x^n-1=0</math> над <math>\mathbb{R}(\varepsilon)</math>

См. также

• Корень многочлена
• Неприводимый многочлен
• Теорема Виета

Шаблон:Rq