Русская Википедия:Список плоских групп симметрии

В статье суммируется информация о классах дискретных групп симметрии евклидовой плоскости. Группы симметрии, приведённые здесь, именуются по трём схемам именования: международная нотация, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5. Существует три вида групп симметрии на плоскости:

2 бесконечных семейства точечных групп
7 групп бордюра – 2D-Шаблон:Не переведено 5
17 групп обоев – 2D-пространственные группы.

Точечные группы симметрии

Шаблон:Основная статья На плоскости имеется точка, инвариантная относительно каждого преобразования. Существует два бесконечных семейства дискретных двумерных точечных групп. Группы определяются параметром n, равным порядку подгруппы вращений. Также параметр n равен показателю группы.

Семейство	Межд. (Шаблон:Не переведено 5)	Шёнфлиса	Геом. Шаблон:Sfn Шаблон:Не переведено 5	Порядок	Примеры
Циклические группы	n (n•)	C_n	Шаблон:Overline [n]⁺ Шаблон:CDD	n	Файл:Cyclic symmetry 1.svg C₁, [ ]⁺ (•)	Файл:Cyclic symmetry 2.svg C₂, [2]⁺ (2•)	Файл:Cyclic symmetry 3.png C₃, [3]⁺ (3•)	Файл:Cyclic symmetry 4.png C₄, [4]⁺ (4•)	Файл:Cyclic symmetry 5.png C₅, [5]⁺ (5•)	Файл:Cyclic symmetry 6.png C₆, [6]⁺ (6•)
Диэдральные группы	nm (*n•)	D_n	n [n] Шаблон:CDD	2n	Файл:Dihedral symmetry domains 1.png D₁, [ ] (*•)	Файл:Dihedral symmetry domains 2.png D₂, [2] (*2•)	Файл:Dihedral symmetry domains 3.png D₃, [3] (*3•)	Файл:Dihedral symmetry domains 4.png D₄, [4] (*4•)	Файл:Dihedral symmetry domains 5.png D₅, [5] (*5•)	Файл:Dihedral symmetry domains 6.png D₆, [6] (*6•)

Группа бордюров

На плоскости имеется прямая, которая переходит в себя при каждом преобразовании. При этом отдельные точки этой прямой могут не оставаться неподвижными.

7 групп бордюров, двумерных Шаблон:Не переведено 5. Символы Шёнфлиса даны как бесконечные пределы 7 диэдральных групп. Жёлтые области представляют бесконечные фундаментальные области для каждого бордюра.

[1,∞], Шаблон:CDD
IUC (Шаблон:Не переведено 5)	Геом.	Шёнфлис	Шаблон:Не переведено 5	Фундаментальная область	Пример
p1 (∞•)	pШаблон:Overline	C_∞	[1,∞]⁺ Шаблон:CDD	Файл:Frieze group 11.png	Файл:Frieze example p1.png Файл:Frieze hop.png
p1m1 (*∞•)	p1	C_∞v	[1,∞] Шаблон:CDD	Файл:Frieze group m1.png	Файл:Frieze example p1m1.png Файл:Frieze sidle.png

[2,∞⁺], Шаблон:CDD
IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p11g (∞×)	p._g1	S_2∞	[2⁺,∞⁺] Шаблон:CDD	Файл:Frieze group 1g.png	Файл:Frieze example p11g.png Файл:Frieze step.png
p11m (∞*)	p. 1	C_∞h	[2,∞⁺] Шаблон:CDD	Файл:Frieze group 1m.png	Файл:Frieze example p11m.png Файл:Frieze jump.png

[2,∞], Шаблон:CDD
IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p2 (22∞)	pШаблон:Overline	D_∞	[2,∞]⁺ Шаблон:CDD	Файл:Frieze group 12.png	Файл:Frieze example p2.png Файл:Frieze spinning hop.png
p2mg (2*∞)	p2_g	D_∞d	[2⁺,∞] Шаблон:CDD	Файл:Frieze group mg.png	Файл:Frieze example p2mg.png Файл:Frieze spinning sidle.png
p2mm (*22∞)	p2	D_∞h	[2,∞] Шаблон:CDD	Файл:Frieze group mm.png	Файл:Frieze example p2mm.png Файл:Frieze spinning jump.png

Группы обоев

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, упорядоченные по международной нотации, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 и классифицированы 5 решётками Браве на плоскости: квадратной, скошенной (параллелограммной), шестиугольной (ромбы с углами 60 градусов), прямоугольной и ромбической.

Группы p1 и p2 с зеркальной симметрией встречаются во всех классах. Связанная чистая группа Коксетера отражений дана для всех классов, за исключением косых.

Квадрат
[4,4], Шаблон:CDD
IUC (Шаблон:Не переведено 5) Геом.	Шаблон:Не переведено 5	Фундаментальная область
p1 (°) pШаблон:Overline		Файл:Wallpaper group diagram p1 square.svg
p2 (2222) pШаблон:Overline	[4,1⁺,4]⁺ Шаблон:CDD [1⁺,4,4,1⁺]⁺ Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p2 square.svg
pgg (22×) p_g2_g	[4⁺,4⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pgg square.svg
pmm (*2222) p2	[4,1⁺,4] Шаблон:CDD [1⁺,4,4,1⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pmm square.svg
cmm (2*22) c2	[(4,4,2⁺)] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram cmm square.svg
p4 (442) pШаблон:Overline	[4,4]⁺ Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p4 square.svg
p4g (4*2) p_g4	[4⁺,4] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p4g square.svg
p4m (*442) p4	[4,4] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p4m square.svg

Прямоугольный
[∞_h,2,∞_v], Шаблон:CDD
IUC (Orb.) Геом.	Коксетер	Фундаментальная область
p1 (°) pШаблон:Overline	[∞⁺,2,∞⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p1 rect.svg
p2 (2222) pШаблон:Overline	[∞,2,∞]⁺ Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p2 rect.svg
pg(h) (××) p_g1	h: [∞⁺,(2,∞)⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pg.svg
pg(v) (××) p_g1	v: [(∞,2)⁺,∞⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pg rotated.svg
pgm (22*) p_g2	h: [(∞,2)⁺,∞] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pmg.svg
pmg (22*) p_g2	v: [∞,(2,∞)⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pmg rotated.svg
pm(h) (**) p1	h: [∞⁺,2,∞] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pm.svg
pm(v) (**) p1	v: [∞,2,∞⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pm rotated.svg
pmm (*2222) p2	[∞,2,∞] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pmm.svg

Ромбический
[∞_h,2⁺,∞_v], Шаблон:CDD
IUC (Orb.) Геом.	Коксетер	Фундаментальная область
p1 (°) pШаблон:Overline	[∞⁺,2⁺,∞⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg
p2 (2222) pШаблон:Overline	[∞,2⁺,∞]⁺ Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p2 rhombic.svg
cm(h) (*×) c1	h: [∞⁺,2⁺,∞] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram cm.svg
cm(v) (*×) c1	v: [∞,2⁺,∞⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram cm rotated.svg
pgg (22×) p_g2_g	[((∞,2)⁺)^[2]] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram pgg.svg
cmm (2*22) c2	[∞,2⁺,∞] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram cmm.svg

Параллелограммный (косой)
p1 (°) pШаблон:Overline		Файл:Wallpaper group diagram p1.svg
p2 (2222) pШаблон:Overline		Файл:Wallpaper group diagram p2.svg

Шестиугольная/Треугольная
[6,3], Шаблон:CDD / [3^[3]], Шаблон:CDD
p1 (°) pШаблон:Overline		Файл:Wallpaper group diagram p1 half.svg
p2 (2222) pШаблон:Overline	[6,3]^Δ	Файл:Wallpaper group diagram p2 half.svg
cmm (2*22) c2	[6,3]^⅄	Файл:Wallpaper group diagram cmm half.svg
p3 (333) pШаблон:Overline	[1⁺,6,3⁺] Шаблон:CDD [3^[3]]⁺ Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p3.svg
p3m1 (*333) p3	[1⁺,6,3] Шаблон:CDD [3^[3]] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p3m1.svg
p31m (3*3) h3	[6,3⁺] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p31m.svg
p6 (632) pШаблон:Overline	[6,3]⁺ Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p6.svg
p6m (*632) p6	[6,3] Шаблон:CDD	Файл:Wallpaper group diagram p6m.svg

Взаимосвязь подгрупп обоев

В приведенной ниже таблице на пересечении строки, соответствующей группе <math>G</math>, и столбца, соответствующего группе <math>H</math>, находится минимальный индекс подгруппы <math>G</math>, изоморфной <math>H</math>. На диагонали находится минимальный индекс собственной подгруппы, изоморфной объемлющей группе.

Взаимосвязь подгрупп 17-и групп обоев ^[1]
		o	2222	××	**	*×	22×	22*	*2222	2*22	442	4*2	*442	333	*333	3*3	632	*632
		p1	p2	pg	pm	cm	pgg	pmg	pmm	cmm	p4	p4g	p4m	p3	p3m1	p31m	p6	p6m
o	p1	2
2222	p	2	2	2
××	pg	2		2
**	pm	2		2	2	2
*×	cm	2		2	2	3
22×	pgg	4	2	2			3
22*	pmg	4	2	2	2	4	2	3
*2222	pmm	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2*22	cmm	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	p4	4	2								2
4*2	p4g	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
*442	p4m	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	p3	3												3
*333	p3m1	6		6	6	3								2	4	3
3*3	p31m	6		6	6	3								2	3	4
632	p6	6	3											2			4
*632	p6m	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

См. также

Список групп сферической симметрии
Шаблон:Не переведено 5 — Гиперболические группы симметрии

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Статья
Шаблон:Книга (Orbifold notation for polyhedra, Euclidean and hyperbolic tilings)

Шаблон:Книга
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Шаблон:Книга
Шаблон:Книга

Ссылки

"Conway's manuscript" on Orbifold notation (Notation changed from this original, x is now used in place of open-dot, and o is used in place of the closed dot)
The 17 Wallpaper Groups

Шаблон:Rq

↑ H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. Berlin:Springer, 1972. § 4.6, Table 4

[1] H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. Berlin:Springer, 1972. § 4.6, Table 4

[1]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Список плоских групп симметрии

Содержание

Точечные группы симметрии

Группа бордюров

Группы обоев

Взаимосвязь подгрупп обоев

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты