Русская Википедия:Среднее значение функции

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если <math>f(x)</math> непрерывна на отрезке <math>[a,b]</math> и дифференцируема в интервале <math>(a,b)</math>, то существует точка <math>c</math>, принадлежащая интервалу <math>(a,b)</math>, такая, что <math>f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)</math>. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если <math>f(x)</math> непрерывна на отрезке <math>[a,b]</math>, а <math>\varphi(x)</math> сохраняет постоянный знак, то существует точка <math>c</math> из интервала <math>(a,b)</math> такая, что

<math>\int\limits_a^b f(x) \varphi(x) dx = f(c) \int\limits_a^b \varphi(x) dx. </math>

В частности, если <math>\varphi(x)=1</math>, то

<math>\int\limits_a^b f(x) dx = f(c) (b-a). </math>

Вследствие этого под средним значением функции <math>f(x)</math> на отрезке <math>[a,b]</math> обычно понимают величину

<math>\overline{f} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x) dx. </math>

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.