Русская Википедия:Сходимость по Пуассону — Абелю

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Сходимость по Пуассону — Абелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное Пуассоном и Абелем.

Определение

Пусть <math>A</math> обозначает числовой ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n.</math> Ряд <math>A</math> называется сходящимся по Пуассону — Абелю, если существует предел:Шаблон:Sfn

<math>\lim_{x \to 1-0} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}a_{k}x^{k} = s_{p}(A)</math>

Пример

Рассмотрим ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}</math>. Этот ряд сходится по Пуассону — Абелю: <math>\lim_{x \to 1-0}(1-x+x^{2}-...) = \lim_{x \to 1-0} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{2}</math>

Свойства

• Если <math>A</math> — сходящийся ряд, то он сходится по Пуассону — Абелю и <math>s_{p}(A)=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}a_{k}</math>Шаблон:Sfn.
• Если ряды <math>A</math> и <math>B</math> сходятся по Пуассону — Абелю, то и их произведение <math>C</math> сходится по Пуассону — Абелю и <math>s_{p}(A)s_{p}(B)=s_{p}(C)</math>Шаблон:Sfn.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Эйлеру

Литература

• Шаблон:Книга