Русская Википедия:Сходимость по Чезаро
Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро[1]. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.
Определение
Ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если:
- <math>\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^k}{E_n^k} = S</math>
где <math>A_n, E_n</math> определяются как коэффициенты разложения:
- <math>\sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}},
</math>
- <math>\sum_{n=0}^\infty E_n^\alpha x^n=(1-x)^{-1-\alpha},
</math>
Свойства
При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n s_j = S,</math> где <math> s_j = a_1 + \cdots + a_j</math> — частичные суммы ряда.
Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при <math>k \geq 0</math> и не являются регулярными при <math>k < 0</math>. Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k' при k' > k > −1.
При k <-1 это свойство не сохраняется.
Если ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> является (C, k)-сходящимся, то <math>a_n = o(n^k)</math>.
Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гёльдера (H, k) и Риса (R, n, k) (k >0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.
Пример
Пусть an = (-1)n+1 для n ≥ 1. То есть, {an} является последовательностью
- <math>1, -1, 1, -1, \ldots.</math>
Последовательность частичных сумм {sn} имеет вид:
- <math>1, 0, 1, 0, \ldots,</math>
и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s1 + … + sn)/n} являются
- <math>\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,</math>
и в общей сложности
- <math>\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.</math>
Поэтому ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.
См. также
- Сходимость по Борелю
- Сходимость по Пуассону — Абелю
- Сходимость по Эйлеру
- 1 − 2 + 3 − 4 + …
- Чезаровское среднее
Примечания
Ссылки
Литература
- Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
- Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
- Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
- Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
- Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .
- ↑ Сеsarо E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;
