Русская Википедия:Тело Штейнмеца
Тело Штейнмеца — это тело, полученное пересечением двух или трёх цилиндров одинакового радиуса, перпендикулярных друг другу. Каждая кривая, образованная пересечением цилиндров, является эллипсом.
Пересечение двух цилиндров называется бицилиндром. Топологически бицилиндр эквивалентен квадратному осоэдру. Так же существуют тела аналогичные по образованию телу Штейнмаца, например пересечение трёх цилиндров называется трицилиндром, а половина бицилиндра называется сводомШаблон:R. Шаблон:Не переведено 5[1] в архитектуре также является сводом.
Тела Штейнмеца названы именем математика Чарлза Протеуса ШтейнмецаШаблон:Sfn, решившего задачу нахождения объёма пересечения. Однако, эта задача была решена задолго до него Архимедом в древней ГрецииШаблон:SfnШаблон:Sfn, Цзу Чунчжи в древнем КитаеШаблон:Sfn и Пьеро делла Франческа во времена раннего итальянского РенессансаШаблон:Sfn.
Бицилиндр
Бицилиндр, образованный двумя цилиндрами с радиусами <math>r</math>, имеет объём <math>V=\frac{16}{3} r^3</math> и площадь поверхности <math>S=16 r^2</math>Шаблон:RШаблон:Sfn.
Верхняя половина бицилиндра является квадратным вариантом Шаблон:Не переведено 5, куполовидного тела, опирающегося на выпуклый многоугольник, горизонтальные сечения которого являются уменьшенными копиями основания. Имеют место аналогичные формулы вычисления объёма и площади поверхности сомкнутого свода как соответствующих величин (с некоторыми рациональными коэффициентами) призмы с тем же основаниемШаблон:Sfn.
Получение формулы объёма
Для получения формулы объёма удобно использовать общую идею вычисления объёма сферы — суммирование тонких цилиндрических слоёв. В нашем случае слоями будут квадратные параллелепипеды (см. рисунок). Тогда получим:
- <math>V = \int_{-r}^{r} (2x)^2 \mathrm{d}z = 4\cdot \int_{-r}^{r} x^2 \mathrm{d}z
= 4\cdot \int_{-r}^{r} (r^2-z^2) \mathrm{d}z=\frac{16}{3} r^3</math>.
Известно, объёмы вписанного в полусферу конуса (с высотой полусферы и опирающегося на основание полусферы), полусферы и описанного вокруг сферы цилиндра (с высотой полусферы) относятся как 1: 2: 3. Для половины бицилиндра верны аналогичные утверждения:
- Отношения объёмов вписанной квадратной пирамиды (<math>a=2r, h=r, V=\frac{4}{3}r^3</math>), половины бицилиндра (<math>V=\frac{8}{3} r^3</math>) и описанного прямоугольного параллелепипеда (<math> a= 2r,\, h=r,\, V=4r^3</math>) равны 1: 2: 3.
Аналитический вывод
Рассмотрим формулы цилиндров:
<math>x^2+z^2=r^2</math> и <math>x^2+y^2=r^2</math>.
Объём задаётся формулой:
<math>V = \iiint_V \mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x</math>.
С пределами интегрирования:
<math>-\sqrt{r^2-x^2} \leqslant z \leqslant \sqrt{r^2-x^2}</math>,
<math>-\sqrt{r^2-x^2} \leqslant y \leqslant \sqrt{r^2-x^2}</math>,
<math>-r \leqslant x \leqslant r</math>.
Подстановкой получим:
<math>V = \int\limits_{-r}^{r}\int\limits_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\int\limits_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} \mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x = 8r^3-\frac{8r^3}{3} = \frac{16r^3}{3}</math>.
Доказательство формулы площади
Рассматриваемая поверхность состоит из двух красных и двух синих цилиндрических двуугольников. Один красный двуугольник делится пополам y-z-плоскостью и разворачивается на плоскости так, что половина окружности (пересечение с плоскостью y-z) разворачивается в положительную <math>\xi</math>-ось, а развёрнутый биугол ограничен сверху дугой <math>\eta=r\sin\left(\frac{\xi}{r}\right), \ 0\leqslant\xi\leqslant \pi r</math>. Следовательно, площадь этой развёрнутой фигуры (половины двуугольника) равна:
- <math>B = \int_{0}^{\pi r} r\sin\left(\frac{\xi}{r}\right) \mathrm{d}\xi = 2r^2</math>,
а площадь полной поверхности равна:
- <math>A=8\cdot B=16r^2</math>.
Альтернативное доказательство формулы объёма
Вывод объёма бицилиндра (белого) можно провести путём упаковки в куб (красный). Пересечение плоскости (параллельной осям цилиндра) и бицилиндра образует квадрат, а пересечение с кубом образует больший квадрат. Разница между площадями этих двух квадратов та же, что и у 4 маленьких квадратов (синих). При движении плоскости через тело эти синие квадраты образуют квадратные пирамиды с равнобедренными гранями по углам куба. Пирамиды имеют вершины в серединах четырёх рёбер куба. Продвижение плоскости через весь бицилиндр обрисует 8 пирамид.
-
Метод Цзу Чунчжи (подобен методу неделимых) для вычисления объёма сферы включает вычисление объёма бицилиндра.
-
Связь площади сечения поверхности бицилиндра с сечением куба
Объём куба (красный) минус объём восьми пирамид (синие) равен объёму бицилиндра (белый). Объём 8 пирамид равен <math>\textstyle 8 \times \frac{1}{3} r^2 \times r = \frac{8}{3} r^3 </math>, и мы можем теперь вычислить объём бицилиндра <math>\textstyle (2 r)^3 - \frac{8}{3} r^3 = \frac{16}{3} r^3</math>.
Трицилиндр
Пересечение трёх цилиндров с перпендикулярными пересекающимися осями образует поверхность тела с вершинами, в каждой из которых сходятся 3 ребра, и вершинами, в каждой из которых сходятся 4 ребра. Ключевым фактом для определения объёма и площади поверхности является наблюдение, что трицилиндр можно собрать из куба, вершины которого совпадают с вершинами трицилиндра, в которых сходятся 3 ребра (см. рисунок), и 6 криволинейных пирамид (треугольники являются частями поверхностей цилиндров). Объём и площадь поверхности криволинейных треугольников можно вычислить аналогично сделанному выше для бицилиндраШаблон:RШаблон:Sfn.
Объём трицилиндра равен:
- <math>V=8(2 - \sqrt{2}) r^3</math>,
а площадь поверхности равна:
- <math>A=24(2 - \sqrt{2}) r^2.</math>
Пересечение большего числа цилиндров
Для четырёх цилиндров, оси которых соответствуют высотам тетраэдра, объём равенШаблон:RШаблон:Sfn:
- <math display="block">V_4=12 \left( 2\sqrt{2} - \sqrt{6} \right) r^3 </math>
Для шести цилиндров, оси которых параллельны диагоналям граней куба, объём равенШаблон:RШаблон:Sfn:
- <math>V_6=\frac{16}{3} \left( 3 + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \right) r^3 </math>.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Разделы вещественного анализа Шаблон:Rq
- ↑ Купольный свод – это вариант сомкнутого свода. Сомкнутый свод имеет в основании прямоугольник, купольный – квадрат.
