Русская Википедия:Тензор Вейля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тензор кривизны Вейля — часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием, что построенный по нему тензор Риччи равен нулю.

Назван в честь Германа Вейля.

Определение

Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определённые комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):

<math>W = R - \frac{1}{n-2}\left(Ric - \frac{s}{n}g\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g</math>

где n — размерность многообразия, g — метрика, R — тензор Римана, Ric — тензор Риччи, s — скалярная кривизна, а h O k — так называемое произведение Кулкарни — Номидзу, произведение двух симметричных тензоров валентности (0,2) есть тензор валентности (0,4), удовлетворяющий симметриям тензора кривизны:

<math>(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) = </math>	<math>h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-</math>
	<math>{}-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4).</math>

В компонентах, тензор Вейля задаётся выражением:

<math>W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}</math>

где <math>R_{abcd}</math> — тензор Римана, <math>R_{ab}</math> — тензор Риччи, <math>R</math> — скалярная кривизна и [] обозначает операцию антисимметризации.

Свойства

• Тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырёх. В двумерном и трёхмерном пространствах тензоры Вейля тождественно равны нулю.

• Тензор Вейля остаётся инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику <math>\tilde{g}_{ij} = \Omega g_{ij}</math> при помощи некоторой функции <math>\Omega</math>, то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: <math>\tilde{W}_{abc}{}^d = {W_{abc}}^d</math>. По этой причине тензор Вейля ещё называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что
  • для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю.
  • Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным.
  • Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной евклидовости является равенство нулю тензора Коттона.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Конформное отображение
• Символы Кристоффеля
• Общая теория относительности
• Тензор Баха
• Тензор Шутена