Русская Википедия:Теорема Бойяи — Гервина
Теорема Бойяи — Гервина утверждает, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.
Формулировка
Пусть <math>P</math> и <math>Q</math> — два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники <math>A_1,A_2,\dots,A_n</math> и <math>B_1,B_2,\dots,B_n</math>, так что для любого <math>i\in \{1,\dots,n\}</math> многоугольник <math>A_i</math> конгруэнтен <math>B_i</math>.
Схема доказательства
Главным фактом, используемым в доказательстве, является транзитивность равносоставленности, то есть утверждение о том, что если многоугольник <math>P</math> равносоставлен <math>Q</math> и многоугольник <math>Q</math> равносоставлен <math>R</math>, то <math>P</math> равносоставлен <math>R</math>. Это утверждение очевидно, если рассмотреть разбиение многоугольника <math>Q</math> одновременно по всей совокупности разделяющих линий, определяющих его разбиение при обоих переходах <math>P \to Q</math> и <math>Q \to R</math>.
Пользуясь этой леммой, теорему можно свести к более простой: Шаблон:Рамка Любой многоугольник равносоставлен прямоугольнику той же площади с единичной высотой. Шаблон:Конец рамки Последнее утверждение доказывается пошагово сведением задачи к разным частным случаям. Во-первых, рассматривается триангуляция многоугольника, что позволяет свести задачу к аналогичному утверждению только для треугольников (получившиеся прямоугольники можно будет просто соединить ввиду одинаковой высоты). Далее треугольник через отсечение верхней части, разбиении её на две части по линии высоты и приклеивание их по бокам к нижней части оказывается равносоставлен некоторому прямоугольнику.
Последним шагом в доказательстве теоремы является доказательство равносоставленности любых двух прямоугольников одинаковой площади. Это достигается через указание равносоставленности всех параллелограммов с одинаковой длиной основания, и через преобразование таким образом одного прямоугольника в параллелограмм с длиной боковой стороны, равной одной из сторон второго прямоугольника.
Замечания
- Понятие равносоставленности в этой теореме отличается от равносоставленности в парадоксе удвоения шара, где позволяется «разрезать» на произвольные непересекающиеся подмножества.
- Аналогичная теорема в трёхмерном Евклидовом пространстве уже не верна, этот вопрос является третьей проблемой Гильберта.
История
Теорема о равновеликих треугольниках, которая позже стала известна как теорема Бойяи — Гервина, была доказана в 1807 году Уоллесом.[1]. Теорема названа в честь Уильяма Уоллеса, Фаркаша Бояи и Пола Гервина. Называется 1833-й год [2], как вероятный год, когда Пол Гервин независимо от Бояи и Уильяма Уоллеса доказал выше указанную теорему.
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Ian Stewart: From Here to Infinity. Oxford University Press 1996 (3. edition), ISBN 978-0-19-283202-3, p. 169 (Шаблон:Google books)
- ↑ 1833 in science // https://en.wikipedia.org/wiki/1833_in_science Шаблон:Wayback
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Комбинаторная геометрия
- Теоремы евклидовой геометрии
- Многоугольники
- Равносоставленность
- Именные законы и правила
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии
