Русская Википедия:Теорема Вайнберга о связи полей с частицами
Теорема Вайнберга о связи полей с частицами — утверждение о связи между видом фурье-образов квантованных полей и операторами рождения и уничтожения частиц положительной массы. Доказана С. Вайнбергом в 1964 году [1][2][3][4]. Следствием этой теоремы являются зависимость типов полей от спина их квантов. При добавлении условия неприводимости поля по отношению к группе Пуанкаре можно получить уравнение Дирака для электрона, Вейля для нейтрино, Максвелла для фотонаШаблон:Sfn.
Формулировка
Для частиц положительной массы фурье-образы квантованных полей связаны с операторами рождения и уничтожения частиц линейными соотношениямиШаблон:Sfn:
- <math>\alpha_{\sigma}(p)=\sum_{\tau=-j}^{j}X_{\sigma \tau}(p)a_{\tau}(p),</math>
- <math>\beta_{\sigma}^{+}(p)=\sum_{\tau=-j}^{j}Y_{\sigma \tau}(p)b_{\tau}^{+}(p).</math>
Пояснения
Оператор <math>a_{\sigma}(p)^{+}</math> является оператором рождения новой частицы с импульсом <math>p</math> и состоянием поляризации <math>\sigma</math>. Оператор <math>a_{\sigma}(p)</math> является оператором уничтожения существующей частицы с импульсом <math>p</math> и состоянием поляризации <math>\sigma</math>. Оператор <math>b_{\sigma}(p)^{+}</math> является оператором рождения новой античастицы с импульсом <math>p</math> и состоянием поляризации <math>\sigma</math>. Оператор <math>b_{\sigma}(p)</math> является оператором уничтожения существующей античастицы с импульсом <math>p</math> и состоянием поляризации <math>\sigma</math>. Состояние поляризации <math>\sigma</math> может принимать значения <math>\sigma = -j, -j+1, .., j-1, j</math>, где <math>j</math> — спин квантов поля. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям:
- <math>[a_{\sigma}(p), a_{\tau}^{+}(p)]_{\pm}=\delta_{\sigma \tau}\delta(p-p'),</math>
- <math>[b_{\sigma}(p), b_{\tau}^{+}(p)]_{\pm}=\delta_{\sigma \tau}\delta(p-p').</math>
Выражения <math>\alpha_{\sigma}(p)</math> и <math>\beta_{\sigma}^{+}(p)</math> обозначают фурье-образы квантованного поля <math>\psi_{\sigma}(x)</math>, из формулы
- <math>\psi_{\sigma}(x) = {(2 \pi)}^{-\frac{3}{2}} \int \left \{ \alpha_{\sigma}(p) e^{-i(px)} + \beta_{\sigma}^{+}e^{i(px)}\right \} \delta(p^{2}-m^{2})\theta(p^{0})dp,</math>
где <math>(px)=p^{0}x^{0}-p^{1}x^{1}-p^{2}x^{2}-p^{3}x^{3}</math>, функция <math>\theta(p^{0})</math> равна единице при <math>p^{0} > 0</math> и нулю при <math>p^{0} < 0</math>Шаблон:Sfn. Выражения <math>X_{\sigma \tau}(p)</math> и <math>Y_{\sigma \tau}(p)</math> обозначают коэффициенты, однозначно вычисляемые при помощи использования свойств преобразований квантованных полей относительно группы ЛоренцаШаблон:Sfn.
Следствия
С использованием сформулированной выше теоремы Вайнберга о связи полей с частицами Шаблон:Sfn может быть доказана, как следствие, Теорема Паули.
Примечания
Литература
- ↑ S. Weinberg Feynman rules for any spin, I Шаблон:Wayback, Phys. Rev, 133, B1318-1332 (1964)
- ↑ S. Weinberg Feynman rules for any spin, II, Massless particles Шаблон:Wayback, Ib, 134, B882-896 (1964)
- ↑ S. Weinberg Photons and gravitons in S-matrix theory: derivation of charge conservation and equality of gravitational and inertial mass Шаблон:Wayback, Ib, 135, B1049-1056 (1964)
- ↑ S. Weinberg Photons and gravitons in perturbation theory: derivation of Maxwell’s and Einstein’s equations, Шаблон:Wayback Ib, 138, B988-1002 (1965)
