Русская Википедия:Теорема Голода — Шафаревича

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Голода-Шафаревича — теорема алгебры. Была сформулирована и доказана Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем в 1964 г. Важными следствиями из неё являются отрицательный ответ на проблему Куроша (существует ниль-алгебра, не являющаяся локально нильпотентной)Шаблон:Sfn, отрицательный ответ на общую проблему Бернсайда (существует периодическая группа, не являющаяся локально конечной)Шаблон:Sfn.

Условия

Пусть <math>T = F \left [ x_{1}, ..., x_{d} \right ]</math> — кольцо полиномов от некоммутирующих переменных <math>x_{1}, ..., x_{d}</math> над произвольным полем <math>F</math>. Пусть <math>T</math> является градуированной алгеброй благодаря определению на ней функции степени.

Представим <math>T</math> в виде суммы подпространств <math>T = T_{0} + T_{1} + \ldots + T_{n} + \ldots</math>, где <math>T_{0} = F</math>, а <math>T_{n}</math> имеет базис из <math>d^{n}</math> элементов вида <math>x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}</math>, где переменные <math>x_{i_{j}}</math> выбираются из множества <math>\left \{ x_{1}, ..., x_{d} \right \}</math>.

Назовем элементы пространства <math>T_{n}</math> однородными элементами степени <math>n</math>.

Пусть <math>\mathfrak{U} = (f_{1}, f_{2}, ...)</math> — двусторонний идеал алгебры <math>T</math>, порождённый однородными элементами <math> f_{1}, f_{2}, ... </math> степеней <math> n_{1}, n_{2}, ... </math> соответственно. Упорядочим <math> n_{1}, n_{2}, ... </math> так, чтобы <math>2 \leqslant n_{1} \leqslant n_{2} \leqslant \ldots </math>. Число тех элементов <math>f_{j}</math>, степени которых равны <math>i</math> обозначим как <math>r_{i}</math>.

Факторалгебра <math>A=T / \mathfrak{U}</math> наследует градуировку из <math>T</math> вследствие того, что идеал <math>\mathfrak{U}</math> порожден однородными элементами.

Факторалгебра может быть представлена в виде суммы <math>A = A_{0} + A_{1} + \ldots + A_{n} + \ldots</math>, где <math>A_{i} \simeq T / \mathfrak{U} \cap T_{i}</math>.

Пусть <math>b_{n}=\dim_{F}A_{n}</math>.

Формулировка

Алгебра <math>A</math>, описанная в условиях теоремы, обладает следующими свойствами:

1. <math>b_{n} \geqslant d b_{n-1} - \sum_{n_{i} \leqslant n} b_{n - n_{i}}</math> для всех <math>n \geqslant 1</math>.
2. Если для каждого <math>i</math> <math>r_{i} \leqslant \left ( \frac{d-1}{2} \right )^{2}</math>, то <math>A</math> бесконечномерна над <math>F</math>.

Доказательство

Доказательство теоремы занимает <math>4</math> страницы в книге Шаблон:Sfn

См. также

• Проблема Бернсайда

Литература

• Шаблон:Книга