Русская Википедия:Теорема Карно (термодинамика)
Шаблон:Другие значения Теорема Карно — теорема о коэффициенте полезного действия (КПД) тепловых двигателей. Согласно этой теореме, КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и конструкции теплового двигателя и является функцией температур нагревателя и холодильника[1].
История
В 1824 году Сади Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода»
Логика рассуждений Карно была такова: «…можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла
Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами….
Формулировки
Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана), а также ранее Д.В.Сивухин (МФТИ) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата: «Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:
1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника: <math>\eta = 1 - F(T_H,T_X).</math>
2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников: <math>\eta_n < \!\eta_o.</math>
Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):
3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя <math>T_H</math> и холодильника <math>T_X</math>:
- <math>\eta_k = \frac{T_H-T_X}{T_H} = 1 - \frac{T_X}{T_H}.</math>
<math>\eta_k < 1</math>, ибо практически невозможно осуществить условие <math>T_H \rightarrow\infty</math> и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого : <math>T_X = 0</math>.
4°. Термический к.п.д. <math>\eta_o</math> произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами <math>T_H</math> и <math>T_X</math> нагревателя и холодильника:
- <math>\eta_o < \frac{T_H-T_X}{T_H}.</math>
5°. Термический к.п.д. <math>\eta_n</math> произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами <math>T_H</math> и <math>T_X</math>:
- <math>\eta_n < \frac{T_H-T_X}{T_H}.</math>
Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.
Доказательства теоремы Карно
Существует несколько различных доказательств этой теоремы.
Доказательство Сади Карно
Шаблон:Начало цитаты …В различных положениях поршень испытывает давления более или менее значительные со стороны воздуха, находящегося в цилиндре; упругая сила воздуха меняется как от изменения объёма, так и от изменения температуры, но необходимо заметить, что при равных объёмах, то есть для подобных положений поршня, при разрежении температура будет более высокой, чем при сжатии. Поэтому в первом случае упругая сила воздуха будет больше, а отсюда движущая сила, произведенная движением от расширения, будет больше, чем сила, нужная для сжатия. Таким образом, получится излишек движущей силы, излишек, который можно на что-нибудь употребить. Воздух послужит нам тепловой машиной; мы употребили его даже наиболее выгодным образом, так как не происходило ни одного бесполезного восстановления равновесия теплорода. Шаблон:Конец цитаты
Современное доказательство для идеального газа
Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика» (см. рис).
Процесс D-E:
Поскольку газ идеальный, <math>(dU/dV)_T = 0</math> и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре <math>T_H</math>, превращается во внешнюю работу:
- <math>Q_{D-E} = \int\limits_{ik}^{cd}p {dV} = RT_H \ln\frac{V_{cd}}{V_{ik}}.\qquad</math> [1]
Процесс В-C:
Подобным же образом, работа, совершенная при изотермическом сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:
- <math>Q_{B-C} = \int\limits_{gh}^{ef}p {dV} = RT_X \ln\frac{V_{ef}}{V_{gh}}.\qquad</math> [2]
Процессы E-B и C-D:
Поскольку газ идеальный и <math>U</math> зависит только от температуры <math>T</math>, из уравнения <math>Q = U_2 - U_1 + A</math> следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием <math>C_VdT + p dV = 0</math>, получаем:
- <math>C_V(T_H - T_X) = \int\limits_{cd}^{gh} p dV = -\int\limits_{ef}^{ik} p dV.</math>
Чтобы найти связь между <math>V_{ik}</math>, <math>V_{cd}</math>, <math>V_{gh}</math> и <math>V_{ef}</math>, заметим, что, согласно уравнению Пуассона <math>TV^{R/C_V}= const</math>, в адиабатических процессах:
(E → B):<math>T_HV_{cd}^{x-1}= T_XV_{gh}^{x-1},</math>
(C → D):<math>T_XV_{ef}^{x-1}= T_HV_{ik}^{x-1},</math>
и, следовательно,
- <math>\frac{V_{cd}}{V_{ik}} = \frac{V_{gh}}{V_{ef}}.</math>
Подставляя это соотношение в уравнения [1] и [2], получаем
- <math>\frac{Q_{B-C}}{Q_{D-E}} = \frac{T_H}{T_X}.</math>
В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен
- <math>\eta_{max} = \frac{T_H-T_X}{T_H}.</math>
Литература
Примечания
Ссылки
- ↑ Шаблон:Книга//Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
